Faça o estudo completo das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos estudar a função de forma completa. Isso significa que vamos analisar várias características dessa função usando conceitos de cálculo, como derivadas para entender seu comportamento, e outras propriedades importantes. Vamos precisar saber um pouco sobre derivadas e como elas ajudam a descobrir onde a função cresce, decresce, tem máximos ou mínimos, entre outras coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que a exponencial está sempre definida para qualquer número real, e também pode ser qualquer número real. Então, o domínio é todos os números reais:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Para derivar , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Então,

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Como nunca é zero, igualamos :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para descobrir se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada em torno desse ponto. Vamos usar a primeira derivada:
Para , digamos :
Para , digamos :
Então, a derivada passa de negativa para positiva, indicando que é um mínimo local.

Passo 6

Vamos encontrar o valor mínimo substituindo na função:

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função para tendendo a e :
  • Para :
á
  • Para :
á

Passo 8

Vamos verificar se existem assíntotas:
  • Assíntota horizontal: Observamos e . Então, há uma assíntota horizontal em .
  • Assíntota vertical: Não há, já que a função está definida para todo .

Passo 9

Finalmente, vamos resumir:
  • Domínio:
  • Mínimo local em com valor
  • A função cresce para quando e tende a 0 quando
  • Assíntota horizontal em

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais, possui um mínimo local em com valor , cresce indefinidamente para , tende a zero quando e possui uma assíntota horizontal em .

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Calcule a derivada das funções a seguir:
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Nos exercícios de 1 a 6 , ache e .