Faça o estudo completo das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos estudar a função
de forma completa. Isso significa que vamos analisar várias características dessa função usando conceitos de cálculo, como derivadas para entender seu comportamento, e outras propriedades importantes. Vamos precisar saber um pouco sobre derivadas e como elas ajudam a descobrir onde a função cresce, decresce, tem máximos ou mínimos, entre outras coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, vemos que a exponencial
está sempre definida para qualquer número real, e
também pode ser qualquer número real. Então, o domínio é todos os números reais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Para derivar
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Então,
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Como
nunca é zero, igualamos
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Para descobrir se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada em torno desse ponto. Vamos usar a primeira derivada:
Para
, digamos
:
Para
, digamos
:
Então, a derivada passa de negativa para positiva, indicando que
é um mínimo local.
Passo 6
Vamos encontrar o valor mínimo substituindo
na função:
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função para
tendendo a
e
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Vamos verificar se existem assíntotas:
- Assíntota horizontal: Observamos
e . Então, há uma assíntota horizontal em . - Assíntota vertical: Não há, já que a função está definida para todo
.
Passo 9
Finalmente, vamos resumir:
- Domínio:
- Mínimo local em
com valor - A função cresce para
quando e tende a 0 quando - Assíntota horizontal em
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais, possui um mínimo local em
com valor
, cresce indefinidamente para
, tende a zero quando
e possui uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
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Calcule a derivada das funções a seguir:
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Nos exercícios de 1 a 6 , ache
e
.