Faça o estudo completo das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
. O conteúdo aqui envolve funções racionais, ou seja, funções que são o quociente de dois polinômios. Para fazer um estudo completo, vamos precisar olhar o domínio da função, seus interceptos, assíntotas, comportamento gráfico e possíveis pontos de interesse como máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como é uma fração, o denominador não pode ser zero.
Resolvendo:
Então, o domínio é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos, ou seja, onde a função corta os eixos
e
.
Intercepto com o eixo
:
Para encontrar onde a função corta o eixo , colocamos
.
Para encontrar onde a função corta o eixo
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Intercepto com o eixo
:
Para encontrar onde a função corta o eixo , colocamos
.
Para encontrar onde a função corta o eixo
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical:
Ocorre onde o denominador é zero, já que a função tende ao infinito nessas áreas.
Ocorre onde o denominador é zero, já que a função tende ao infinito nessas áreas.
Já vimos que isso acontece em
. Então, a assíntota vertical é
.
Assíntota horizontal:
Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Aqui, os coeficientes principais são 2 (do numerador) e 4 (do denominador).
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e nos extremos do gráfico.
-
Quando
tende a : se aproxima de . -
Quando
tende a : também se aproxima de . -
Perto de
: - Se
se aproxima de pela direita, tende a . - Se
se aproxima de pela esquerda, tende a .
- Se
Passo 6
Vamos esboçar um gráfico básico da função com as informações obtidas:
- Dominio:
exceto . - Interceptos:
e . - Assíntotas: vertical em
e horizontal em . - Comportamento conforme
tende a e próximo à assíntota vertical.
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico mostrando essas características chave.
Resposta
O estudo completo da função
revela que seu domínio é todos os números reais exceto
. A função intercepta o eixo
em
e o eixo
em
. Possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. O comportamento da função indica que, à medida que
tende a
,
se aproxima de
, e próximo a
, a função tende a
ou
dependendo da direção de aproximação. O gráfico da função segue essas características, apresentando as assíntotas e interceptos descritos.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções a seguir:
Calcule a derivada das funções a seguir:
Faça o estudo completo das seguintes funções:
Faça o estudo completo das seguintes funções: