Faça o estudo completo das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função . O conteúdo aqui envolve funções racionais, ou seja, funções que são o quociente de dois polinômios. Para fazer um estudo completo, vamos precisar olhar o domínio da função, seus interceptos, assíntotas, comportamento gráfico e possíveis pontos de interesse como máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como é uma fração, o denominador não pode ser zero.
Resolvendo:
Então, o domínio é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos, ou seja, onde a função corta os eixos e .
Intercepto com o eixo :
Para encontrar onde a função corta o eixo , colocamos .
Então, o intercepto com o eixo é .
Intercepto com o eixo :
Para encontrar onde a função corta o eixo , colocamos .
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, o intercepto com o eixo é .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical:
Ocorre onde o denominador é zero, já que a função tende ao infinito nessas áreas.
Já vimos que isso acontece em . Então, a assíntota vertical é .
Assíntota horizontal:
Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Aqui, os coeficientes principais são 2 (do numerador) e 4 (do denominador).
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e nos extremos do gráfico.
  • Quando tende a :
    se aproxima de .
  • Quando tende a :
    também se aproxima de .
  • Perto de :
    • Se se aproxima de pela direita, tende a .
    • Se se aproxima de pela esquerda, tende a .

Passo 6

Vamos esboçar um gráfico básico da função com as informações obtidas:
  • Dominio: exceto .
  • Interceptos: e .
  • Assíntotas: vertical em e horizontal em .
  • Comportamento conforme tende a e próximo à assíntota vertical.
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico mostrando essas características chave.

Resposta

O estudo completo da função revela que seu domínio é todos os números reais exceto . A função intercepta o eixo em e o eixo em . Possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . O comportamento da função indica que, à medida que tende a , se aproxima de , e próximo a , a função tende a ou dependendo da direção de aproximação. O gráfico da função segue essas características, apresentando as assíntotas e interceptos descritos.

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