Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer o gráfico da função
, identificar onde ela está crescendo, decrescendo ou constante e também determinar o domínio e a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções absolutas e análise de gráficos pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A parte
é uma função valor absoluto, que cria um gráfico em formato de “V”. O número dentro do valor absoluto, nesse caso
, determina onde o “V” está centralizado no eixo
.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice da função, que é o ponto mais baixo do “V”. Para isso, igualamos o que está dentro do valor absoluto a zero:
Então, o vértice está em
. Agora, substituímos esse valor na função para achar o valor de
:
Portanto, o vértice é o ponto
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função à esquerda e à direita do vértice.
- Para
: Dentro do valor absoluto, é negativo. Então, . A função fica:
Essa é uma reta com declive negativo (
), ou seja, a função está decrescendo quando
.
- Para
: Aqui, é positivo. Então, . A função fica:
Essa é uma reta com declive positivo (
), ou seja, a função está crescendo quando
.
Passo 5
Vamos agora traçar o gráfico:
- Plotamos o vértice em
. - Para
, desenhamos uma reta descendo com inclinação . - Para
, desenhamos uma reta subindo com inclinação .
O gráfico ficará em formato de “V” com o ponto mais baixo em
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função.
- Domínio: É o conjunto de todos os valores de
que a função pode receber. Aqui, não tem restrição, então:
- Imagem: É o conjunto de todos os valores de
. Como o ponto mais baixo do gráfico é e a função sobe para ambos os lados, o menor valor de é e vai aumentando. Então:
Passo 7
Vamos resumir onde a função está crescendo, decrescendo ou constante:
- Crescendo: Para
- Decrescendo: Para
- Constante: Nunca, pois a função sempre está subindo ou descendo, não tem parte horizontal.
Resposta
O gráfico da função
é uma “V” com vértice em
. A função está decrescendo para
e crescendo para
. O domínio é
(todos os números reais) e a imagem é
.
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Encontre
:
Esboce o gráfico das funções:
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A função de Heaviside
é definida por
. Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada.
Esboce o gráfico da voltagem no circuito se uma chave for ligada no instante
e 120 volts forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma fórmula para
em termos de
.
Esboce o gráfico da voltagem