Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer o gráfico da função , identificar onde ela está crescendo, decrescendo ou constante e também determinar o domínio e a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções absolutas e análise de gráficos pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A parte é uma função valor absoluto, que cria um gráfico em formato de “V”. O número dentro do valor absoluto, nesse caso , determina onde o “V” está centralizado no eixo .

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da função, que é o ponto mais baixo do “V”. Para isso, igualamos o que está dentro do valor absoluto a zero:
Então, o vértice está em . Agora, substituímos esse valor na função para achar o valor de :
Portanto, o vértice é o ponto .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função à esquerda e à direita do vértice.
  • Para : Dentro do valor absoluto, é negativo. Então, . A função fica:
Essa é uma reta com declive negativo ( ), ou seja, a função está decrescendo quando .
  • Para : Aqui, é positivo. Então, . A função fica:
Essa é uma reta com declive positivo ( ), ou seja, a função está crescendo quando .

Passo 5

Vamos agora traçar o gráfico:
  1. Plotamos o vértice em .
  2. Para , desenhamos uma reta descendo com inclinação .
  3. Para , desenhamos uma reta subindo com inclinação .
O gráfico ficará em formato de “V” com o ponto mais baixo em .

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função.
  • Domínio: É o conjunto de todos os valores de que a função pode receber. Aqui, não tem restrição, então:
íú
  • Imagem: É o conjunto de todos os valores de . Como o ponto mais baixo do gráfico é e a função sobe para ambos os lados, o menor valor de é e vai aumentando. Então:

Passo 7

Vamos resumir onde a função está crescendo, decrescendo ou constante:
  • Crescendo: Para
  • Decrescendo: Para
  • Constante: Nunca, pois a função sempre está subindo ou descendo, não tem parte horizontal.

Resposta

O gráfico da função é uma “V” com vértice em . A função está decrescendo para e crescendo para . O domínio é (todos os números reais) e a imagem é .

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