Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função , identificar onde a função está crescendo, decrescendo ou constante, e também descobrir qual é o domínio e a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções exponenciais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio e a imagem da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a gente pode colocar na função sem problemas, e a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Para , a função exponencial está definida para todo número real, porque a gente pode elevar 2 a qualquer potência real. Então:
  • Domínio: (todos os números reais)
Agora, a imagem de uma função exponencial da forma , onde e , é sempre . Isso porque nunca dá pra obter zero ou um número negativo elevando 2 a qualquer potência real.
  • Imagem:

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo, decrescendo ou constante. Para isso, observamos o comportamento da função exponencial.
A função pode ser reescrita como . Sabemos que se a base da exponencial for maior que 1, a função cresce à medida que aumenta. Se a base estiver entre 0 e 1, a função decresce à medida que aumenta.
Como está entre 0 e 1, a função está decrescendo quando aumenta.
Então:
  • Função Decrescente: Para todo em , ou seja, em todo o domínio.
Não há intervalos onde a função é crescente ou constante.

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico da função .
  1. Ponto de Referência: Quando , . Então, o ponto está no gráfico.
  2. Comportamento:
    • À medida que aumenta, diminui, aproximando-se de 0, mas nunca chega lá.
    • À medida que diminui, aumenta, indo em direção ao .
  3. Assíntota Horizontal: A linha é uma assíntota horizontal, pois a função se aproxima dessa linha quando tende a .
Com essas informações, o gráfico vai ser uma curva que desce da esquerda para a direita, passando pelo ponto e aproximando-se do eixo sem nunca tocá-lo.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Comportamento da Função:
    • Decrescente em todo o domínio
    • Sempre decrescente, não há intervalos de crescimento ou onde a função seja constante.
O gráfico da função é uma curva exponencial decrescente que passa pelo ponto e se aproxima da assíntota horizontal conforme aumenta.

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