Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
, identificar onde a função está crescendo, decrescendo ou constante, e também descobrir qual é o domínio e a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções exponenciais para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio e a imagem da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a gente pode colocar na função sem problemas, e a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Para
, a função exponencial está definida para todo número real, porque a gente pode elevar 2 a qualquer potência real. Então:
- Domínio:
(todos os números reais)
Agora, a imagem de uma função exponencial da forma
, onde
e
, é sempre
. Isso porque nunca dá pra obter zero ou um número negativo elevando 2 a qualquer potência real.
- Imagem:
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo, decrescendo ou constante. Para isso, observamos o comportamento da função exponencial.
A função
pode ser reescrita como
. Sabemos que se a base da exponencial for maior que 1, a função cresce à medida que
aumenta. Se a base estiver entre 0 e 1, a função decresce à medida que
aumenta.
Como
está entre 0 e 1, a função
está decrescendo quando
aumenta.
Então:
- Função Decrescente: Para todo
em , ou seja, em todo o domínio.
Não há intervalos onde a função é crescente ou constante.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico da função
.
-
Ponto de Referência: Quando
, . Então, o ponto está no gráfico. -
Comportamento:
- À medida que
aumenta, diminui, aproximando-se de 0, mas nunca chega lá. - À medida que
diminui, aumenta, indo em direção ao .
- À medida que
-
Assíntota Horizontal: A linha
é uma assíntota horizontal, pois a função se aproxima dessa linha quando tende a .
Com essas informações, o gráfico vai ser uma curva que desce da esquerda para a direita, passando pelo ponto
e aproximando-se do eixo
sem nunca tocá-lo.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
- Comportamento da Função:
- Decrescente em todo o domínio
- Sempre decrescente, não há intervalos de crescimento ou onde a função seja constante.
- Decrescente em todo o domínio
O gráfico da função
é uma curva exponencial decrescente que passa pelo ponto
e se aproxima da assíntota horizontal
conforme
aumenta.
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:
A função de Heaviside
é definida por
. Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada.
Esboce o gráfico da voltagem no circuito se uma chave for ligada no instante
e 120 volts forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma fórmula para
em termos de
.
Esboce o gráfico da voltagem
A população de certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1.000 indivíduos, é
onde
é medido em anos.
Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.
Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.
Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem