A população de certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1.000 indivíduos, é
onde
é medido em anos.
Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.
Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a população de uma espécie ao longo do tempo. O enunciado dá a população inicial (100 indivíduos) e a capacidade máxima do ambiente (1.000 indivíduos). A função que representa isso é:
Aqui,
é a população no tempo
(em anos). Nosso objetivo é encontrar a função inversa dessa expressão, ou seja, descobrir
em função de
. Para isso, vamos usar álgebra e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação com
substituído por
para facilitar:
Queremos isolar
, então vamos começar multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 3
Agora, vamos distribuir o
dentro dos parênteses:
Em seguida, vamos isolar o termo que contém
. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 4
Para continuar isolando
, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando a fração, podemos dividir numerador e denominador por 100:
Passo 5
Agora, para tirar o
da equação, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que
:
Multiplicando ambos os lados por -1 para isolar
:
Passo 6
Usando propriedades dos logaritmos, podemos reescrever a expressão:
Então, a função inversa é:
Resposta
A função inversa é:
Isso significa que, dado um valor de população
, podemos calcular quantos anos
levaram para a população atingir esse número.
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