A população de certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1.000 indivíduos, é
onde é medido em anos.
Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a população de uma espécie ao longo do tempo. O enunciado dá a população inicial (100 indivíduos) e a capacidade máxima do ambiente (1.000 indivíduos). A função que representa isso é:
Aqui, é a população no tempo (em anos). Nosso objetivo é encontrar a função inversa dessa expressão, ou seja, descobrir em função de . Para isso, vamos usar álgebra e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação com substituído por para facilitar:
Queremos isolar , então vamos começar multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 3

Agora, vamos distribuir o dentro dos parênteses:
Em seguida, vamos isolar o termo que contém . Subtraímos de ambos os lados:

Passo 4

Para continuar isolando , dividimos ambos os lados por :
Simplificando a fração, podemos dividir numerador e denominador por 100:

Passo 5

Agora, para tirar o da equação, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que :
Multiplicando ambos os lados por -1 para isolar :

Passo 6

Usando propriedades dos logaritmos, podemos reescrever a expressão:
Então, a função inversa é:

Resposta

A função inversa é:
Isso significa que, dado um valor de população , podemos calcular quantos anos levaram para a população atingir esse número.

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