Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para fazermos o gráfico da função , identificar onde ela está crescendo, decrescendo ou constante, e também determinar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções absolutas, derivadas para analisar o comportamento crescente/decrescente, e conceitos de domínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que o valor absoluto de depende do sinal de :
  • Se , então .
  • Se , então .
Vamos analisar os dois casos separadamente.

Passo 3

Caso 1:
Substituindo na função:
Então, para , . Isso significa que, nesse intervalo, a função é constante.

Passo 4

Caso 2:
Substituindo na função:
Então, para , . Vamos analisar essa expressão.

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida.
Analisando :
  • O denominador não pode ser zero, então .
  • Não há outras restrições.
Portanto, o domínio de é menos , ou seja:
í

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os valores que pode assumir.
  • Para , .
  • Para , .
Analisando para :
  • Quando se aproxima de 0 pelo lado negativo, tende a , então tende a .
  • Quando tende a , tende a 0, então tende a 1.
Assim, a imagem da função é:

Passo 7

Vamos analisar o comportamento crescente ou decrescente da função.
  • Para , , que é constante.
  • Para , .
Calculando a derivada para :
Como , é sempre positivo, então . Isso significa que, para , a função está decrescendo.

Passo 8

Finalmente, vamos fazer o gráfico da função baseado nas análises acima.
  • Para , a função é , que é uma hipérbole decrescente.
  • Para , a função é constante em .
O gráfico terá uma assimptota horizontal em e uma assimptota vertical em .

Resposta

A função tem domínio e imagem . Ela é constante em para e decrescente para . O gráfico apresenta uma hipérbole decrescente à esquerda de e uma linha horizontal em à direita, com assimptotas em e .

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