Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para fazermos o gráfico da função
, identificar onde ela está crescendo, decrescendo ou constante, e também determinar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções absolutas, derivadas para analisar o comportamento crescente/decrescente, e conceitos de domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que o valor absoluto de
depende do sinal de
:
- Se
, então . - Se
, então .
Vamos analisar os dois casos separadamente.
Passo 3
Caso 1:
Substituindo
na função:
Então, para
,
. Isso significa que, nesse intervalo, a função é constante.
Passo 4
Caso 2:
Substituindo
na função:
Então, para
,
. Vamos analisar essa expressão.
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida.
Analisando
:
- O denominador
não pode ser zero, então . - Não há outras restrições.
Portanto, o domínio de
é
menos
, ou seja:
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os valores que
pode assumir.
- Para
, . - Para
, .
Analisando
para
:
- Quando
se aproxima de 0 pelo lado negativo, tende a , então tende a . - Quando
tende a , tende a 0, então tende a 1.
Assim, a imagem da função é:
Passo 7
Vamos analisar o comportamento crescente ou decrescente da função.
- Para
, , que é constante. - Para
, .
Calculando a derivada para
:
Como
,
é sempre positivo, então
. Isso significa que, para
, a função está decrescendo.
Passo 8
Finalmente, vamos fazer o gráfico da função baseado nas análises acima.
- Para
, a função é , que é uma hipérbole decrescente. - Para
, a função é constante em .
O gráfico terá uma assimptota horizontal em
e uma assimptota vertical em
.
Resposta
A função
tem domínio
e imagem
. Ela é constante em
para
e decrescente para
. O gráfico apresenta uma hipérbole decrescente à esquerda de
e uma linha horizontal em
à direita, com assimptotas em
e
.
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