Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função que temos é . Nosso objetivo é:
  1. Fazer o gráfico dessa função.
  2. Identificar os intervalos nos quais a função está crescente, decrescente ou constante.
  3. Determinar o domínio e a imagem da função.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções exponenciais, derivadas para analisar o comportamento da função (como crescimento e decrescimento), e saber como identificar o domínio e a imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio e a imagem de uma função.
  • Domínio: É o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Imagem: É o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando varia no domínio.
No caso da nossa função , a função exponencial está definida para todo número real , então o domínio será todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. Sabemos que é sempre positivo, ou seja, para qualquer real . Então:
Como , então . Além disso, à medida que tende a , também tende a , então tende a . Portanto, a imagem da função é todos os números reais menores que 1:

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento da função, ou seja, onde ela está crescendo, decrescendo ou constante. Para isso, usamos a derivada da função.
A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto:
  • Se a derivada é positiva, a função está crescendo.
  • Se a derivada é negativa, a função está decrescendo.
  • Se a derivada é zero, a função é constante naquele ponto.
Vamos calcular a derivada de :
Sabemos que para todo , então . Isso significa que a derivada é sempre negativa, ou seja, a função está sempre decrescendo.

Passo 5

Por fim, vamos fazer o gráfico da função .
Sabemos que:
  • Quando , .
  • Conforme aumenta, aumenta rapidamente, então diminui rapidamente.
  • Conforme diminui, tende a zero, então tende a 1.
O gráfico será uma curva que passa pelo ponto (0, 0), decresce continuamente e se aproxima de quando vai para , mas nunca toca essa linha.

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais ( ) e imagem em todos os reais menores que 1 ( ). A função está sempre decrescendo em todo o seu domínio. O gráfico é uma curva que passa por (0, 0), decresce continuamente e se aproxima de quando tende a .

Exercícios relacionados

Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Se e , encontre cada uma das seguintes funções: