Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função que temos é
. Nosso objetivo é:
- Fazer o gráfico dessa função.
- Identificar os intervalos nos quais a função está crescente, decrescente ou constante.
- Determinar o domínio e a imagem da função.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções exponenciais, derivadas para analisar o comportamento da função (como crescimento e decrescimento), e saber como identificar o domínio e a imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio e a imagem de uma função.
- Domínio: É o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. - Imagem: É o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando
varia no domínio.
No caso da nossa função
, a função exponencial
está definida para todo número real
, então o domínio será todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. Sabemos que
é sempre positivo, ou seja,
para qualquer real
. Então:
Como
, então
. Além disso, à medida que
tende a
,
também tende a
, então
tende a
. Portanto, a imagem da função é todos os números reais menores que 1:
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento da função, ou seja, onde ela está crescendo, decrescendo ou constante. Para isso, usamos a derivada da função.
A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto:
- Se a derivada é positiva, a função está crescendo.
- Se a derivada é negativa, a função está decrescendo.
- Se a derivada é zero, a função é constante naquele ponto.
Vamos calcular a derivada de
:
Sabemos que
para todo
, então
. Isso significa que a derivada é sempre negativa, ou seja, a função está sempre decrescendo.
Passo 5
Por fim, vamos fazer o gráfico da função
.
Sabemos que:
- Quando
, . - Conforme
aumenta, aumenta rapidamente, então diminui rapidamente. - Conforme
diminui, tende a zero, então tende a 1.
O gráfico será uma curva que passa pelo ponto (0, 0), decresce continuamente e se aproxima de
quando
vai para
, mas nunca toca essa linha.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais (
) e imagem em todos os reais menores que 1 (
). A função está sempre decrescendo em todo o seu domínio. O gráfico é uma curva que passa por (0, 0), decresce continuamente e se aproxima de
quando
tende a
.
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Se
e
, encontre cada uma das seguintes funções: