Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o gráfico da função
, identificar os intervalos onde a função está crescendo, decrescendo ou constante, e determinar o domínio e a imagem dessa função. Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções polinomiais, especialmente funções do segundo grau, e como analisar seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho. Multiplicando os termos:
Agora, temos a forma padrão da função quadrática
, onde
,
e
.
Passo 3
O próximo passo é determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como essa é uma função polinomial, ela está definida para todos os números reais. Então:
Passo 4
Agora vamos achar o ponto de mínimo ou máximo da função, que é o vértice da parábola. A coordenada
do vértice pode ser encontrada usando a fórmula:
Para encontrar a coordenada
, substituímos
na função:
Então, o vértice é
.
Passo 5
Como o coeficiente
é positivo, sabemos que a parábola abre para cima, ou seja, tem um mínimo no vértice. Isso indica que a função é decrescente antes do vértice e crescente depois dele.
Passo 6
Vamos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Decrescente: para
- Crescente: para
- Constant: Não há intervalos onde a função é constante, já que é uma parábola que sempre está aumentando ou diminuindo, exceto no vértice.
Passo 7
Para desenhar o gráfico, plotamos alguns pontos adicionais além do vértice, como as raízes da função. As raízes são os valores de
onde
:
Assim, temos as raízes em
e
. Com essas informações, podemos esboçar a parábola que passa por esses pontos e pelo vértice.
Passo 8
Finalmente, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de
. Como a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo, a imagem será todos os valores maiores ou iguais a
:
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola que abre para cima com vértice em
. A função é decrescente para
e crescente para
. O domínio da função é todos os números reais
e a imagem é
.
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onde
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