Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o gráfico da função , identificar os intervalos onde a função está crescendo, decrescendo ou constante, e determinar o domínio e a imagem dessa função. Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções polinomiais, especialmente funções do segundo grau, e como analisar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho. Multiplicando os termos:
Agora, temos a forma padrão da função quadrática , onde , e .

Passo 3

O próximo passo é determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como essa é uma função polinomial, ela está definida para todos os números reais. Então:
íú

Passo 4

Agora vamos achar o ponto de mínimo ou máximo da função, que é o vértice da parábola. A coordenada do vértice pode ser encontrada usando a fórmula:
Para encontrar a coordenada , substituímos na função:
Então, o vértice é .

Passo 5

Como o coeficiente é positivo, sabemos que a parábola abre para cima, ou seja, tem um mínimo no vértice. Isso indica que a função é decrescente antes do vértice e crescente depois dele.

Passo 6

Vamos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Decrescente: para
  • Crescente: para
  • Constant: Não há intervalos onde a função é constante, já que é uma parábola que sempre está aumentando ou diminuindo, exceto no vértice.

Passo 7

Para desenhar o gráfico, plotamos alguns pontos adicionais além do vértice, como as raízes da função. As raízes são os valores de onde :
Assim, temos as raízes em e . Com essas informações, podemos esboçar a parábola que passa por esses pontos e pelo vértice.

Passo 8

Finalmente, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de . Como a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo, a imagem será todos os valores maiores ou iguais a :

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que abre para cima com vértice em . A função é decrescente para e crescente para . O domínio da função é todos os números reais e a imagem é .

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