Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
f(x) = |x| / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre funções, principalmente sobre funções com valor absoluto. Além disso, vamos identificar onde a função está crescendo, diminuindo ou constante, e também descobrir o domínio e a imagem dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O símbolo representa o valor absoluto de x, que é sempre positivo ou zero. Então, é igual a x quando x é positivo e igual a -x quando x é negativo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Vamos dividir essa função em dois casos, dependendo do valor de x:
  1. Quando x é positivo ( ):
    • Então,
  2. Quando x é negativo ( ):
    • Então,

Passo 4

Agora, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Observamos que a função n��o está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando . Portanto, o domínio é todos os números reais, exceto zero.
Domínio: e

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Vimos que quando x é positivo, , e quando x é negativo, . Então, a imagem é simplesmente { -1, 1 }.
Imagem: { -1, 1 }

Passo 6

Vamos agora determinar onde a função é crescente, decrescente ou constante:
  • Para :
    • , que é constante. Não está aumentando nem diminuindo.
  • Para :
    • , que também é constante.
Como a função é constante em ambos os intervalos, não há intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Passo 7

Por fim, vamos fazer o gráfico da função. Sabemos que:
  • Para , , então teremos uma linha horizontal em y = 1.
  • Para , , então teremos uma linha horizontal em y = -1.
  • A função não está definida em , então teremos um ponto aberto nesse ponto.

Resposta

A função tem domínio e , e imagem { -1, 1 }. No intervalo , a função é constante em 1, e no intervalo , é constante em -1. O gráfico consiste em duas linhas horizontais, uma em y = 1 para e outra em y = -1 para , sem definição em x = 0.

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