Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre funções, principalmente sobre funções com valor absoluto. Além disso, vamos identificar onde a função está crescendo, diminuindo ou constante, e também descobrir o domínio e a imagem dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O símbolo
representa o valor absoluto de x, que é sempre positivo ou zero. Então,
é igual a x quando x é positivo e igual a -x quando x é negativo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Vamos dividir essa função em dois casos, dependendo do valor de x:
-
Quando x é positivo (
): -
- Então,
-
-
Quando x é negativo (
): -
- Então,
-
Passo 4
Agora, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Observamos que a função
n��o está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Portanto, o domínio é todos os números reais, exceto zero.
Domínio:
e
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Vimos que quando x é positivo,
, e quando x é negativo,
. Então, a imagem é simplesmente { -1, 1 }.
Imagem: { -1, 1 }
Passo 6
Vamos agora determinar onde a função é crescente, decrescente ou constante:
-
Para
: -
, que é constante. Não está aumentando nem diminuindo.
-
-
Para
: -
, que também é constante.
-
Como a função é constante em ambos os intervalos, não há intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
Passo 7
Por fim, vamos fazer o gráfico da função. Sabemos que:
- Para
, , então teremos uma linha horizontal em y = 1. - Para
, , então teremos uma linha horizontal em y = -1. - A função não está definida em
, então teremos um ponto aberto nesse ponto.
Resposta
A função
tem domínio
e
, e imagem { -1, 1 }. No intervalo
, a função é constante em 1, e no intervalo
, é constante em -1. O gráfico consiste em duas linhas horizontais, uma em y = 1 para
e outra em y = -1 para
, sem definição em x = 0.