Sejam k um inteiro positivo e a um número real. Mostre que
lim x a x^k-a^kx-a=k a^k-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Isso está ligado ao estudo de limites e, especificamente, ao conceito de derivada na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador x^k - a^k = (x - a)(x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1) . Existe uma técnica chamada fatoração que nos ajuda a simplificar diferenças de potências. Sabemos que:
Isso significa que podemos escrever o numerador como o produto de e uma soma de termos que envolvem potências de e .

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
x^k - a^kx - a = (x - a)(x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1)x - a
Perceba que (x - a)()x - a = x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1 aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos:

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite quando x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1 = a^k-1 + a^k-2a + dots + a^k-1 se aproxima de k cdot a^k-1 . Substituindo por na expressão simplificada:
Cada termo da soma será igual a , e como há termos na soma, o resultado será:

Resposta

lim x a x^k-a^kx-a=k a^k-1

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