Sejam
um inteiro positivo e
um número real. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Isso está ligado ao estudo de limites e, especificamente, ao conceito de derivada na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador
. Existe uma técnica chamada fatoração que nos ajuda a simplificar diferenças de potências. Sabemos que:
Isso significa que podemos escrever o numerador como o produto de
e uma soma de termos que envolvem potências de
e
.
Passo 3
Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
Perceba que
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos:
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite quando
se aproxima de
. Substituindo
por
na expressão simplificada:
Cada termo da soma será igual a
, e como há
termos na soma, o resultado será:
Resposta
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Suponha que
seja uma função que satisfaça a equação
para todos os números reais
e
. Suponha também que
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