Sejam um inteiro positivo e um número real. Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Isso está ligado ao estudo de limites e, especificamente, ao conceito de derivada na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador . Existe uma técnica chamada fatoração que nos ajuda a simplificar diferenças de potências. Sabemos que:
Isso significa que podemos escrever o numerador como o produto de e uma soma de termos que envolvem potências de e .

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
Perceba que aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos:

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite quando se aproxima de . Substituindo por na expressão simplificada:
Cada termo da soma será igual a , e como há termos na soma, o resultado será:

Resposta

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para todos os números reais e . Suponha também que
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