Suponha que f seja uma função que satisfaça a equação
f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2 y+x y^2
para todos os números reais x e y. Suponha também que
lim x 0 f(x)x=1
Encontre f^prime(0)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma função f(x + y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 que satisfaz a equação funcional:
limx 0 f(x)x = 1
para todos os números reais e . Além disso, sabemos que:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de no ponto 0, ou seja, .
Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de cálculo, especialmente relacionados a limites e derivadas, além de manipular a equação funcional para descobrir mais sobre a forma de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite dado:
limx 0 f(x)x = 1
Este limite sugere que, próximo de 0, a função se comporta de maneira similar a . Isso nos dá uma pista sobre o comportamento de perto de 0 e nos ajuda a encontrar , que é justamente a inclinação da função no ponto 0.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição da derivada de f'(0) = limh 0 f(h) - f(0)h em 0:
Para encontrar , precisamos conhecer . Vamos descobrir isso utilizando a equação funcional.

Passo 4

Vamos substituir f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 0^2 cdot 0 + 0 cdot 0^2 e f(0) = 2f(0) na equação funcional:
f(0) = 0
Simplificando:
Isso implica que:

Passo 5

Agora que sabemos que f'(0) = limh 0 f(h)h , podemos voltar à definição da derivada:
limh 0 f(h)h = 1
Mas, pelo limite dado no enunciado:
f'(0) = 1
Portanto, substituindo na definição da derivada:

Resposta

A derivada de no ponto 0 é .

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