Suponha que
seja uma função que satisfaça a equação
para todos os números reais
e
. Suponha também que
Encontre
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma função
que satisfaz a equação funcional:
para todos os números reais
e
. Além disso, sabemos que:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de
no ponto 0, ou seja,
.
Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de cálculo, especialmente relacionados a limites e derivadas, além de manipular a equação funcional para descobrir mais sobre a forma de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite dado:
Este limite sugere que, próximo de 0, a função
se comporta de maneira similar a
. Isso nos dá uma pista sobre o comportamento de
perto de 0 e nos ajuda a encontrar
, que é justamente a inclinação da função
no ponto 0.
Passo 3
Agora, vamos usar a definição da derivada de
em 0:
Para encontrar
, precisamos conhecer
. Vamos descobrir isso utilizando a equação funcional.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação funcional:
Simplificando:
Isso implica que:
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos voltar à definição da derivada:
Mas, pelo limite dado no enunciado:
Portanto, substituindo na definição da derivada:
Resposta
A derivada de
no ponto 0 é
.