Faça o gráfico de f(t) e calcuie a sua Transformada de Laplace se: f(t) = { 0, 0 <= t < pi; t - pi, pi <= t < 2 pi; 0, t >= 2 pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente fazer o gráfico da função e calcular a sua Transformada de Laplace. Isso envolve entender como a função se comporta ao longo do tempo e aplicar a técnica da Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que:
  • De até , a função é zero.
  • De até , a função cresce linearmente conforme .
  • Para , a função volta a ser zero.

Passo 3

Agora, vamos plotar o gráfico dessa função.
  1. De : . Então, a função é uma linha reta no eixo com altura zero.
  2. De : . Aqui, a função começa em com e aumenta até onde .
  3. Para : de novo.
O gráfico será uma linha horizontal na origem até , depois uma reta crescente até , e novamente uma linha horizontal.

Passo 4

Vamos calcular a Transformada de Laplace de . A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Mas como é zero fora do intervalo , podemos simplificar a integral para esse intervalo:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Vamos integrar de a :
As integrais são conhecidas:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Após simplificar os termos, obtemos a Transformada de Laplace final.

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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