Faça o gráfico de e calcuie a sua Transformada de Laplace se:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente fazer o gráfico da função e calcular a sua Transformada de Laplace. Isso envolve entender como a função se comporta ao longo do tempo e aplicar a técnica da Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que:
De até , a função é zero.
De até , a função cresce linearmente conforme .
Para , a função volta a ser zero.
Passo 3
Agora, vamos plotar o gráfico dessa função.
De : . Então, a função é uma linha reta no eixo com altura zero.
De : . Aqui, a função começa em com e aumenta até onde .
Para : de novo.
O gráfico será uma linha horizontal na origem até , depois uma reta crescente até , e novamente uma linha horizontal.
Passo 4
Vamos calcular a Transformada de Laplace de . A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Mas como é zero fora do intervalo , podemos simplificar a integral para esse intervalo:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Vamos integrar de a :
As integrais são conhecidas:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Após simplificar os termos, obtemos a Transformada de Laplace final.