Sendo a uma constante, calcule a transformada de l-aplace das funcoles: f(t) = cos^2(at)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar algumas identidades trigonométricas e as propriedades da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma identidade trigonométrica. Sabia que podemos reescrever o cosseno ao quadrado em termos de cosseno duplo? A identidade é:
Aplicando isso na nossa função:
Isso vai facilitar o cálculo da transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na função simplificada. A transformada de Laplace é linear, o que significa que podemos separar os termos:
Simplificando, temos:
Agora, vamos calcular cada transformada individualmente.

Passo 4

Sabemos que:
E para o cosseno:
No nosso caso, , então:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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