Use a convolução para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a transformada inversa de Laplace de
usando convolução. Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e a propriedade da convolução para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace
pode ser obtida pela convolução das transformadas inversas individuais de
e
. Ou seja:
Isso nos permite quebrar a fração complicada em partes mais simples.
Passo 3
Vamos identificar
e
na expressão dada:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de
e
:
Então,
e
.
Passo 5
Aplicando a definição de convolução:
Vamos simplificar substituindo
, então
, e quando
,
; quando
,
. A integral fica:
Agora, expandimos a expressão dentro da integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais conhecidas.
Passo 6
Calculando as integrais:
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Simplificando os termos:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: