Use a convolução para calcular: L^{-1}(1/(s^{2}(s+1)^{2}))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a transformada inversa de Laplace de usando convolução. Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e a propriedade da convolução para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace pode ser obtida pela convolução das transformadas inversas individuais de e . Ou seja:
Isso nos permite quebrar a fração complicada em partes mais simples.

Passo 3

Vamos identificar e na expressão dada:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de e :
Então, e .

Passo 5

Aplicando a definição de convolução:
Vamos simplificar substituindo , então , e quando , ; quando , . A integral fica:
Agora, expandimos a expressão dentro da integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais conhecidas.

Passo 6

Calculando as integrais:
Aplicando os limites de integração de 0 a :
Simplificando os termos:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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