Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
. Para isso, vamos descobrir algumas coisas importantes como o domínio, os limites, onde a função está crescendo ou decrescendo, pontos máximos e mínimos, pontos de inflexão, concavidade e assíntotas se tiver. Vamos usar conhecimentos de cálculo como derivadas para achar essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como essa é um polinômio, ele está definido para todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os limites da função quando
tende a mais ou menos infinito. Como o termo de maior grau é
, quando
vai para
,
também vai para
, e quando
vai para
,
vai para
.
Passo 4
Vamos achar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
e ver onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
Vamos resolver
para encontrar os pontos críticos:
Então, temos dois pontos críticos em
e
.
Passo 5
Determinar se nas regiões entre esses pontos a função está crescendo ou decrescendo. Vamos testar valores de
em cada intervalo:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Passo 6
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Como a derivada muda de positivo para negativo em
, temos um máximo local ali. E muda de negativo para positivo em
, então temos um mínimo local.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Então, temos um máximo em
e um mínimo em
.
Passo 7
Vamos encontrar os pontos de inflexão e a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada
:
Igualamos a zero para achar os pontos de inflexão:
Então, há um ponto de inflexão em
. Vamos ver a concavidade:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Passo 8
Por último, vamos verificar se existem assíntotas. Como a função é um polinômio de grau 3, que é ímpar, ela não tem assíntotas verticais ou horizontais, mas tem uma assíntota oblíqua.
Vamos encontrar a assíntota dividindo
por
:
Quando
vai para
, o termo
desaparece, então a assíntota oblíqua é
, mas como não é uma linha reta, na verdade, não há assíntotas oblíquas para polinômios de grau maior que 1.
Resposta
O domínio da função é
. A função tende a
quando
e a
quando
. Ela está crescendo nos intervalos
e
, e decrescendo em
. Possui um ponto de máximo local em
e um ponto de mínimo local em
. Há um ponto de inflexão em
, sendo concava para baixo em
e para cima em
. A função não possui assíntotas.
Exercícios relacionados
Suponha que
, encontre os valores de:
Encontre uma equação da reta tangente à curva em um dado ponto.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.