Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função . Para isso, vamos descobrir algumas coisas importantes como o domínio, os limites, onde a função está crescendo ou decrescendo, pontos máximos e mínimos, pontos de inflexão, concavidade e assíntotas se tiver. Vamos usar conhecimentos de cálculo como derivadas para achar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como essa é um polinômio, ele está definido para todos os números reais.
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar os limites da função quando tende a mais ou menos infinito. Como o termo de maior grau é , quando vai para , também vai para , e quando vai para , vai para .

Passo 4

Vamos achar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada e ver onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
Vamos resolver para encontrar os pontos críticos:
Então, temos dois pontos críticos em e .

Passo 5

Determinar se nas regiões entre esses pontos a função está crescendo ou decrescendo. Vamos testar valores de em cada intervalo:
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Como a derivada muda de positivo para negativo em , temos um máximo local ali. E muda de negativo para positivo em , então temos um mínimo local.
Vamos calcular os valores de nesses pontos:
Para :
Para :
Então, temos um máximo em e um mínimo em .

Passo 7

Vamos encontrar os pontos de inflexão e a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada :
Igualamos a zero para achar os pontos de inflexão:
Então, há um ponto de inflexão em . Vamos ver a concavidade:
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :

Passo 8

Por último, vamos verificar se existem assíntotas. Como a função é um polinômio de grau 3, que é ímpar, ela não tem assíntotas verticais ou horizontais, mas tem uma assíntota oblíqua.
Vamos encontrar a assíntota dividindo por :
Quando vai para , o termo desaparece, então a assíntota oblíqua é , mas como não é uma linha reta, na verdade, não há assíntotas oblíquas para polinômios de grau maior que 1.

Resposta

O domínio da função é . A função tende a quando e a quando . Ela está crescendo nos intervalos e , e decrescendo em . Possui um ponto de máximo local em e um ponto de mínimo local em . Há um ponto de inflexão em , sendo concava para baixo em e para cima em . A função não possui assíntotas.

Exercícios relacionados

Suponha que , encontre os valores de:
Encontre uma equação da reta tangente à curva em um dado ponto.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.