Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente fazer o gráfico da função
. A gente vai precisar usar conceitos de domínio, limites, derivadas para encontrar onde a função cresce ou decresce, pontos de máximo e mínimo, pontos de inflexão, concavidade e assíntotas. Vamos passo a passo entender cada parte!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função
está definida para todo número real, então não tem restrições. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos calcular os limites da função quando
tende a
e
.
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Vamos achar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos da primeira derivada da função.
A função é:
Derivando em relação a
:
Vamos analisar o sinal de
:
Então:
- Crescente quando
ou - Decrescente quando
Passo 5
Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo. Esses pontos acontecem onde a derivada
é zero.
Igualamos
a zero:
Agora, vamos verificar a natureza desses pontos usando a primeira derivada:
- Em
, a função muda de crescente para decrescente: ponto de máximo. - Em
, a função muda de decrescente para crescente: ponto de mínimo.
Para encontrar os valores de
:
Passo 6
Vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, precisamos da segunda derivada.
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Vamos achar onde
:
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Agora, vamos analisar a concavidade:
- Para
, : concavidade para cima. - Para
, : concavidade para baixo.
Passo 8
Por último, vamos verificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Analisando os limites:
Não há assíntotas horizontais ou verticais, pois a função cresce sem limites e não há valores de
que causem divisão por zero ou deixem a função indefinida.
Resposta
Resumindo, a função
tem domínio em todos os números reais, cresce quando
ou
, e decresce entre
e
. Possui um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
. A concavidade é para baixo quando
e para cima quando
, com um ponto de inflexão em
. Não há assíntotas. O gráfico refletirá essas características, mostrando um comportamento crescente e decrescente conforme os intervalos determinados e a mudança de concavidade no ponto de inflexão.
Exercícios relacionados
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.