Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente fazer o gráfico da função . A gente vai precisar usar conceitos de domínio, limites, derivadas para encontrar onde a função cresce ou decresce, pontos de máximo e mínimo, pontos de inflexão, concavidade e assíntotas. Vamos passo a passo entender cada parte!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função está definida para todo número real, então não tem restrições. Portanto, o domínio é:
í

Passo 3

Agora, vamos calcular os limites da função quando tende a e .
Sabemos que:
Então:

Passo 4

Vamos achar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos da primeira derivada da função.
A função é:
Derivando em relação a :
Vamos analisar o sinal de :
Então:
  • Crescente quando ou
  • Decrescente quando

Passo 5

Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo. Esses pontos acontecem onde a derivada é zero.
Igualamos a zero:
Agora, vamos verificar a natureza desses pontos usando a primeira derivada:
  • Em , a função muda de crescente para decrescente: ponto de máximo.
  • Em , a função muda de decrescente para crescente: ponto de mínimo.
Para encontrar os valores de :

Passo 6

Vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, precisamos da segunda derivada.
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Vamos achar onde :
Então, temos um ponto de inflexão em .

Passo 7

Agora, vamos analisar a concavidade:
  • Para , : concavidade para cima.
  • Para , : concavidade para baixo.

Passo 8

Por último, vamos verificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Analisando os limites:
Não há assíntotas horizontais ou verticais, pois a função cresce sem limites e não há valores de que causem divisão por zero ou deixem a função indefinida.

Resposta

Resumindo, a função tem domínio em todos os números reais, cresce quando ou , e decresce entre e . Possui um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em . A concavidade é para baixo quando e para cima quando , com um ponto de inflexão em . Não há assíntotas. O gráfico refletirá essas características, mostrando um comportamento crescente e decrescente conforme os intervalos determinados e a mudança de concavidade no ponto de inflexão.

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