Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai fazer o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender o domínio da função, calcular limites, determinar onde a função cresce ou decresce, encontrar máximos e mínimos, pontos de inflexão, concavidade, e verificar se existem assíntotas. Tudo isso faz parte do estudo de funções no cálculo.
Passo 2
Determinar o domínio da função
Primeiro, precisamos ver para quais valores de
a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos fatorar:
As raízes são
e
. Agora, analisamos os intervalos que essas raízes criam:
-
: é positivo e é negativo → produto negativo. -
: é positivo e é negativo → produto negativo. -
: é positivo e é positivo → produto positivo.
Portanto, o domínio é:
Passo 3
Calcular os limites da função
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende a infinito e nas extremidades do domínio.
- Quando
:
- Quando
:
Passo 4
Determinar a derivada para encontrar onde a função é crescente ou decrescente
Vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal da derivada.
Análise do sinal de
:
O denominador
é positivo para
. Então, o sinal de
depende do numerador:
As raízes são
e
, mas como
, consideramos
:
- Para
,
Logo,
para
, o que significa que a função é crescente nesse intervalo.
Passo 5
Encontrar máximos e mínimos
Como a função só é crescente no seu domínio (
), não há pontos de máximo ou mínimo local dentro desse intervalo. O menor valor da função ocorre em
:
Então, temos um mínimo absoluto em
.
Passo 6
Determinar pontos de inflexão e concavidade
Para encontrar pontos de inflexão, precisamos analisar a segunda derivada.
Primeiro, vamos derivar
:
Aplicando a regra do quociente e cadeia, a segunda derivada
é um pouco complexa, mas para simplificação, podemos observar a concavidade observando a derivada primeira:
Como a função é sempre crescente e não apresenta mudanças na concavidade dentro do domínio
, não existem pontos de inflexão. A concavidade pode ser determinada pela segunda derivada, mas para esse nível, concluímos que a função é concava para cima no domínio considerado.
Passo 7
Verificar assíntotas
Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas. Vamos verificar:
-
Assíntota vertical: Ocorre quando a fun��ão tende ao infinito em algum ponto finito. No nosso domínio
, quando , . Não há assíntota vertical. -
Assíntota horizontal: Observamos o limite quando
:
Não há assíntota horizontal.
- Assíntota oblíqua: Também não há, já que o limite tende ao infinito de forma mais rápida.
Então, a função não possui assíntotas.
Resposta
A função
tem domínio para
. Ela é crescente nesse intervalo, com um mínimo absoluto em
onde
. Não possui máximos locais, pontos de inflexão ou assíntotas. A concavidade é para cima em todo o domínio. O gráfico da função começa no ponto (6, 0) e cresce para
conforme
aumenta.
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Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Suponha que
, encontre os valores de:
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.