Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai fazer o gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender o domínio da função, calcular limites, determinar onde a função cresce ou decresce, encontrar máximos e mínimos, pontos de inflexão, concavidade, e verificar se existem assíntotas. Tudo isso faz parte do estudo de funções no cálculo.

Passo 2

Determinar o domínio da função
Primeiro, precisamos ver para quais valores de a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos fatorar:
As raízes são e . Agora, analisamos os intervalos que essas raízes criam:
  1. : é positivo e é negativo → produto negativo.
  2. : é positivo e é negativo → produto negativo.
  3. : é positivo e é positivo → produto positivo.
Portanto, o domínio é:

Passo 3

Calcular os limites da função
Vamos analisar o comportamento da função quando tende a infinito e nas extremidades do domínio.
  1. Quando :
  1. Quando :

Passo 4

Determinar a derivada para encontrar onde a função é crescente ou decrescente
Vamos derivar em relação a :
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal da derivada.
Análise do sinal de :
O denominador é positivo para . Então, o sinal de depende do numerador:
As raízes são e , mas como , consideramos :
  • Para ,
Logo, para , o que significa que a função é crescente nesse intervalo.

Passo 5

Encontrar máximos e mínimos
Como a função só é crescente no seu domínio ( ), não há pontos de máximo ou mínimo local dentro desse intervalo. O menor valor da função ocorre em :
Então, temos um mínimo absoluto em .

Passo 6

Determinar pontos de inflexão e concavidade
Para encontrar pontos de inflexão, precisamos analisar a segunda derivada.
Primeiro, vamos derivar :
Aplicando a regra do quociente e cadeia, a segunda derivada é um pouco complexa, mas para simplificação, podemos observar a concavidade observando a derivada primeira:
Como a função é sempre crescente e não apresenta mudanças na concavidade dentro do domínio , não existem pontos de inflexão. A concavidade pode ser determinada pela segunda derivada, mas para esse nível, concluímos que a função é concava para cima no domínio considerado.

Passo 7

Verificar assíntotas
Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas. Vamos verificar:
  1. Assíntota vertical: Ocorre quando a fun��ão tende ao infinito em algum ponto finito. No nosso domínio , quando , . Não há assíntota vertical.
  2. Assíntota horizontal: Observamos o limite quando :
Não há assíntota horizontal.
  1. Assíntota oblíqua: Também não há, já que o limite tende ao infinito de forma mais rápida.
Então, a função não possui assíntotas.

Resposta

A função tem domínio para . Ela é crescente nesse intervalo, com um mínimo absoluto em onde . Não possui máximos locais, pontos de inflexão ou assíntotas. A concavidade é para cima em todo o domínio. O gráfico da função começa no ponto (6, 0) e cresce para conforme aumenta.

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Suponha que , encontre os valores de:
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
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