Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que vamos analisar é
. Nosso objetivo é:
- Traçar o gráfico dessa função.
- Determinar o domínio.
- Encontrar os limites.
- Identificar onde a função está crescente ou decrescente.
- Encontrar os pontos de máximo e mínimo.
- Identificar pontos de inflexão.
- Determinar os intervalos de concavidade (para cima e para baixo).
- Verificar se existem assíntotas.
Para tudo isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar crescimento, decrescimento, máximos, mínimos e concavidade, além de conhecimento sobre logaritmos e propriedades dos limites.
Passo 2
Dominio da Função
Primeiro, vamos ver onde a função está definida, ou seja, qual o domínio dela. Temos
.
Sabemos que o logaritmo natural
só é definido para
. Além disso,
está definido para todo número real. Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Limites da Função
Vamos analisar os limites quando
tende a 0 e ao infinito.
- Limite quando
:
Sabemos que
tende a 0 e
tende a
. Então:
- Limite quando
:
Aqui,
cresce muito mais rápido que
, que cresce para
, mas de forma lenta. Portanto:
Resumindo:
Passo 4
Derivada da Função e Crescimento/Decrescimento
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos achar a primeira derivada.
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
:
Então:
- Crescente para
- Decrescente para
Passo 5
Pontos de Máximo e Mínimo
Os pontos onde a derivada é zero ou não existe são candidatos a máximos ou mínimos.
Resolvendo
:
Para classificar, usamos a segunda derivada ou observamos o sinal da primeira derivada ao redor de
.
Como a função passa de decrescente para crescente nesse ponto,
é um ponto de mínimo.
Calculando
:
Passo 6
Ponto de Inflexão e Concavidade
Para encontrar pontos de inflexão, precisamos da segunda derivada.
Analisando o sinal de
:
Como
,
, então
. Portanto,
para todo o domínio.
Isso significa que a função é sempre côncava para cima e não há pontos de inflexão.
Passo 7
Assíntotas
Vamos verificar se existem assíntotas para a função
.
- Assíntota Vertical:
Analisamos o limite quando
:
Não há uma assíntota vertical específica, apenas que a função tende ao infinito.
- Assíntota Horizontal:
Analisamos os limites quando
:
Não existe uma assíntota horizontal.
- Assíntota Oblíqua:
Como a função cresce como
para
, não há assíntota oblíqua.
Portanto, a função não possui assíntotas.
Resposta
Resumindo tudo:
- Domínio:
- Limites:
-
- Crescimento:
- Cresce para
- Decresce para
- Cresce para
- Ponto de Mínimo: Em
, - Concavidade: Sempre côncava para cima
- Assíntotas: Não possui
O gráfico da função
apresenta essas características conforme descrito acima.
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