Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que vamos analisar é . Nosso objetivo é:
  • Traçar o gráfico dessa função.
  • Determinar o domínio.
  • Encontrar os limites.
  • Identificar onde a função está crescente ou decrescente.
  • Encontrar os pontos de máximo e mínimo.
  • Identificar pontos de inflexão.
  • Determinar os intervalos de concavidade (para cima e para baixo).
  • Verificar se existem assíntotas.
Para tudo isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar crescimento, decrescimento, máximos, mínimos e concavidade, além de conhecimento sobre logaritmos e propriedades dos limites.

Passo 2

Dominio da Função
Primeiro, vamos ver onde a função está definida, ou seja, qual o domínio dela. Temos .
Sabemos que o logaritmo natural só é definido para . Além disso, está definido para todo número real. Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Limites da Função
Vamos analisar os limites quando tende a 0 e ao infinito.
  1. Limite quando :
Sabemos que tende a 0 e tende a . Então:
  1. Limite quando :
Aqui, cresce muito mais rápido que , que cresce para , mas de forma lenta. Portanto:
Resumindo:

Passo 4

Derivada da Função e Crescimento/Decrescimento
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos achar a primeira derivada.
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de :
Então:
  • Crescente para
  • Decrescente para

Passo 5

Pontos de Máximo e Mínimo
Os pontos onde a derivada é zero ou não existe são candidatos a máximos ou mínimos.
Resolvendo :
(já que )
Para classificar, usamos a segunda derivada ou observamos o sinal da primeira derivada ao redor de .
Como a função passa de decrescente para crescente nesse ponto, é um ponto de mínimo.
Calculando :

Passo 6

Ponto de Inflexão e Concavidade
Para encontrar pontos de inflexão, precisamos da segunda derivada.
Analisando o sinal de :
Como , , então . Portanto, para todo o domínio.
Isso significa que a função é sempre côncava para cima e não há pontos de inflexão.

Passo 7

Assíntotas
Vamos verificar se existem assíntotas para a função .
  1. Assíntota Vertical:
Analisamos o limite quando :
Não há uma assíntota vertical específica, apenas que a função tende ao infinito.
  1. Assíntota Horizontal:
Analisamos os limites quando :
Não existe uma assíntota horizontal.
  1. Assíntota Oblíqua:
Como a função cresce como para , não há assíntota oblíqua.
Portanto, a função não possui assíntotas.

Resposta

Resumindo tudo:
  • Domínio:
  • Limites:
  • Crescimento:
    • Cresce para
    • Decresce para
  • Ponto de Mínimo: Em ,
  • Concavidade: Sempre côncava para cima
  • Assíntotas: Não possui
O gráfico da função apresenta essas características conforme descrito acima.

Exercícios relacionados

Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Ll)