Faça o gráfico da função f(x)=x+x|x|. A seguir, calcule: lim x 0^+ f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é duas coisas: primeiro, desenhar o gráfico da função . Depois, calcular o limite dessa função quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, .

Passo 2

Vamos começar analisando a função . Aqui, temos a função , que é o valor absoluto de . O valor absoluto de é sempre positivo, independente do sinal de .

Passo 3

Para entender como a função se comporta, vamos dividir em dois casos: quando f(x) = x + xx = x + 1 é positivo e quando f(x) = x + x-x = x - 1 é negativo.
  • Quando :
    , então:
  • Quando :
    , então:

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a função por partes:
f(x) = x + 1, & se x > 0 x - 1, & se x < 0

Passo 5

Agora, vamos desenhar o gráfico dessa função. Para , a função é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em 1. Para , é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em -1. No ponto , a função não está definida porque e isso causaria uma divisão por zero.

Passo 6

Com o gráfico em mente, vamos calcular o limite de f(x) = x + 1 quando limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (x + 1) = 0 + 1 = 1 se aproxima de 0 pela direita, ou seja, valores positivos bem próximos de 0.
Como :
Então:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 0 pela direita é igual a 1.

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