Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
f(x) = { 4 - x^2, x <= 1 ; x^2 + 2x, x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função , descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo e também encontrar o conjunto imagem dela. A função é definida por partes, então vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde :
Essa é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de é negativo. Sabemos que o ponto máximo dessa parábola está no vértice.

Passo 3

Vamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para o vértice de uma parábola é . No nosso caso, e , então:
Então, o vértice está em . Calculando :
Então, o vértice é .

Passo 4

Vamos agora para a parte onde :
Essa é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo. Vamos encontrar o vértice dessa parábola usando a mesma fórmula:
Então, o vértice está em . Calculando :
Mas como estamos considerando , esse vértice está fora do nosso intervalo de interesse.

Passo 5

Agora, vamos analisar onde cada parte está crescendo ou decrescendo:
  • Para , a derivada de é . Quando , (crescendo) e quando , (decrescendo).
  • Para , a derivada de é , que é sempre positiva para , então essa parte está sempre crescendo.

Passo 6

Por último, vamos determinar o conjunto imagem da função. Para , atinge o valor máximo de 4 e vai crescendo até e depois decresce. Para , começa em e cresce indefinidamente. Portanto, o conjunto imagem é:

Resposta

O gráfico da função é composto por duas parábolas:
  • Para , é uma parábola que abre para baixo com vértice em , crescendo em e decrescendo em .
  • Para , é uma parábola que abre para cima, sempre crescendo.
O conjunto imagem da função é .

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Verifique a paridade das seguintes funções:
f(x) = 4
Verifique se as identidades são verdadeiras: 2^(3+8) = 2^3 * 2^8.
Verifique a paridade das seguintes funções:
f(x) = 1 + sen^3(x)
Encontre as funções f + g, f - g, f g e f/g e estabeleça os respectivos domínios. (Observação: o domínio será dado pela interseção entre os domínios de f e g.)
f(x) = raiz(1 + x), g(x) = raiz(1 - x)