Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
, descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo e também encontrar o conjunto imagem dela. A função é definida por partes, então vamos analisar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde
:
Essa é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de
é negativo. Sabemos que o ponto máximo dessa parábola está no vértice.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para o vértice de uma parábola
é
. No nosso caso,
e
, então:
Então, o vértice está em
. Calculando
:
Então, o vértice é
.
Passo 4
Vamos agora para a parte onde
:
Essa é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de
é positivo. Vamos encontrar o vértice dessa parábola usando a mesma fórmula:
Então, o vértice está em
. Calculando
:
Mas como estamos considerando
, esse vértice está fora do nosso intervalo de interesse.
Passo 5
Agora, vamos analisar onde cada parte está crescendo ou decrescendo:
- Para
, a derivada de é . Quando , (crescendo) e quando , (decrescendo). - Para
, a derivada de é , que é sempre positiva para , então essa parte está sempre crescendo.
Passo 6
Por último, vamos determinar o conjunto imagem da função. Para
,
atinge o valor máximo de 4 e vai crescendo até
e depois decresce. Para
,
começa em
e cresce indefinidamente. Portanto, o conjunto imagem é:
Resposta
O gráfico da função
é composto por duas parábolas:
- Para
, é uma parábola que abre para baixo com vértice em , crescendo em e decrescendo em . - Para
, é uma parábola que abre para cima, sempre crescendo.
O conjunto imagem da função é
.
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Verifique se as identidades são verdadeiras:
.
Verifique a paridade das seguintes funções:
Encontre as funções
e
e estabeleça os respectivos domínios. (Observação: o domínio será dado pela interseção entre os domínios de
e
.)