y = sen(x/(1-x)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a Regra da Cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é composta. Ou seja, temos uma função externa onde . Para derivar em relação a , precisamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de é a derivada da função externa em relação a multiplicada pela derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função externa em relação a . Sabemos que:
Então, até aqui temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que:
Aqui, e . Então:
Aplicando na regra do quociente:

Passo 5

Agora que temos e , aplicamos a Regra da Cadeia:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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