Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o mapa de contorno da função . Isso envolve usar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para isso, vamos precisar entender como encontrar essas curvas de nível e como representá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, digamos . Então, para encontrar as curvas de nível, a gente define e resolve essa equação para em função de , ou vice-versa.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Para resolver essa equação, primeiro vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Então:

Passo 4

Agora, observamos que a equação representa uma elipse. Isso porque os termos e indicam que as variáveis estão ao quadrado e multiplicadas por constantes diferentes, caracterizando uma elipse centrada na origem.

Passo 5

Para desenhar o mapa de contorno, vamos escolher diferentes valores de e encontrar as respectivas elipses. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Cada valor de gera uma elipse maior à medida que aumenta.

Passo 6

Com essas equações, podemos plotar as elipses no plano . A interseção dessas elipses forma o mapa de contorno da função . Cada elipse representa os pontos onde a função tem o mesmo valor , permitindo visualizar como a função se comporta em diferentes regiões do plano.

Resposta

O mapa de contorno da função é formado por várias elipses centradas na origem, correspondentes a diferentes valores de . Cada elipse satisfaz a equação , e à medida que aumenta, as elipses se expandem, ilustrando como a função cresce em diferentes direções no plano .

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