Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o mapa de contorno da função
. Isso envolve usar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para isso, vamos precisar entender como encontrar essas curvas de nível e como representá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante, digamos
. Então, para encontrar as curvas de nível, a gente define
e resolve essa equação para
em função de
, ou vice-versa.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Para resolver essa equação, primeiro vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Então:
Passo 4
Agora, observamos que a equação
representa uma elipse. Isso porque os termos
e
indicam que as variáveis estão ao quadrado e multiplicadas por constantes diferentes, caracterizando uma elipse centrada na origem.
Passo 5
Para desenhar o mapa de contorno, vamos escolher diferentes valores de
e encontrar as respectivas elipses. Por exemplo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
E assim por diante. Cada valor de
gera uma elipse maior à medida que
aumenta.
Passo 6
Com essas equações, podemos plotar as elipses no plano
. A interseção dessas elipses forma o mapa de contorno da função
. Cada elipse representa os pontos onde a função tem o mesmo valor
, permitindo visualizar como a função se comporta em diferentes regiões do plano.
Resposta
O mapa de contorno da função
é formado por várias elipses centradas na origem, correspondentes a diferentes valores de
. Cada elipse satisfaz a equação
, e à medida que
aumenta, as elipses se expandem, ilustrando como a função cresce em diferentes direções no plano
.
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