Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno da função
mostrando várias curvas de nível. Isso significa que vamos desenhar curvas no plano
onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis, como
, é o conjunto de pontos
onde a função tem um valor fixo, digamos
. Matematicamente, isso é representado por
. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, vamos definir
. Então temos:
Para simplificar, vamos “desfazer” o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Essa é a equação de nossas curvas de nível para diferentes valores de
.
Passo 4
Observando a equação
, percebemos que ela representa uma elipse. Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de qualquer ponto da curva a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante. No nosso caso, a elipse está centrada na origem (0,0) e seus eixos têm diferentes comprimentos devido ao coeficiente 4 que multiplica
.
Passo 5
Agora, vamos escolher alguns valores de
para desenhar diferentes elipses:
-
Para
: Essa é a elipse mais “pequena”. -
Para
: Essa elipse será maior que a anterior. -
Para
: E assim por diante.
Cada valor crescente de
resulta em uma elipse maior, já que
aumenta com
. As elipses são todas orientadas de forma que o eixo
é mais largo que o eixo
, devido ao peso maior no
na equação original.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses centradas na origem, com diferentes tamanhos dependendo do valor de
. Cada elipse é dada pela equação
, e conforme
aumenta, as elipses ficam maiores.
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Seja
.
(a) Calcule .
(a) Calcule