Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y) = ln(x^2 + 4y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível. Isso significa que vamos desenhar curvas no plano onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos onde a função tem um valor fixo, digamos . Matematicamente, isso é representado por . Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, vamos definir . Então temos:
Para simplificar, vamos “desfazer” o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Essa é a equação de nossas curvas de nível para diferentes valores de .

Passo 4

Observando a equação , percebemos que ela representa uma elipse. Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de qualquer ponto da curva a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante. No nosso caso, a elipse está centrada na origem (0,0) e seus eixos têm diferentes comprimentos devido ao coeficiente 4 que multiplica .

Passo 5

Agora, vamos escolher alguns valores de para desenhar diferentes elipses:
  • Para :
    Essa é a elipse mais “pequena”.
  • Para :
    Essa elipse será maior que a anterior.
  • Para :
    E assim por diante.
Cada valor crescente de resulta em uma elipse maior, já que aumenta com . As elipses são todas orientadas de forma que o eixo é mais largo que o eixo , devido ao peso maior no na equação original.

Resposta

As curvas de nível da função são elipses centradas na origem, com diferentes tamanhos dependendo do valor de . Cada elipse é dada pela equação , e conforme aumenta, as elipses ficam maiores.

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