Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
P(L, K) = 1,01 L^0,75 K^0,25
discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica
P(L, K) = b * L^(alpha) * K^(1-alpha)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função de produção de Cobb-Douglas, que relaciona a produção com duas variáveis: trabalho e capital . A função dada é:
O objetivo é verificar se, ao dobrar as quantidades de trabalho e capital, a produção também dobrará. Além disso, queremos saber se isso acontece para uma função de produção genérica:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a elasticidade de produção em relação a e , e como ela afeta o resultado quando dobramos e .

Passo 2

Vamos começar analisando a função de produção específica:
Aqui, os expoentes de e são 0,75 e 0,25, respectivamente. A soma desses expoentes é:
Quando a soma dos expoentes é igual a 1, dizemos que a função tem retornos constantes de escala. Isso significa que se aumentarmos todas as entradas (neste caso, e ) por um fator , a produção aumentará também por esse mesmo fator .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Se dobrarmos e , estamos escolhendo . Portanto, a produção seria:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos expoentes:
Portanto, a produção também dobra quando as quantidades de e são dobradas.

Passo 4

Agora, vamos verificar para a função de produção genérica:
A soma dos expoentes aqui é:
Assim como na função anterior, temos retornos constantes de escala. Isso significa que para qualquer , ao multiplicarmos e por , a produção será multiplicada por .

Passo 5

Aplicando isso ao caso de dobrar e ( ):
Assim, para a função genérica também, a produção dobra quando dobramos e .

Resposta

Sim, para ambas as funções de produção de Cobb-Douglas apresentadas, a produção dobrou quando as quantidades de trabalho e capital foram dobradas.

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