Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função de produção de Cobb-Douglas, que relaciona a produção
com duas variáveis: trabalho
e capital
. A função dada é:
O objetivo é verificar se, ao dobrar as quantidades de trabalho e capital, a produção também dobrará. Além disso, queremos saber se isso acontece para uma função de produção genérica:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a elasticidade de produção em relação a
e
, e como ela afeta o resultado quando dobramos
e
.
Passo 2
Vamos começar analisando a função de produção específica:
Aqui, os expoentes de
e
são 0,75 e 0,25, respectivamente. A soma desses expoentes é:
Quando a soma dos expoentes é igual a 1, dizemos que a função tem retornos constantes de escala. Isso significa que se aumentarmos todas as entradas (neste caso,
e
) por um fator
, a produção aumentará também por esse mesmo fator
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Se dobrarmos
e
, estamos escolhendo
. Portanto, a produção seria:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos expoentes:
Portanto, a produção também dobra quando as quantidades de
e
são dobradas.
Passo 4
Agora, vamos verificar para a função de produção genérica:
A soma dos expoentes aqui é:
Assim como na função anterior, temos retornos constantes de escala. Isso significa que para qualquer
, ao multiplicarmos
e
por
, a produção será multiplicada por
.
Passo 5
Aplicando isso ao caso de dobrar
e
(
):
Assim, para a função genérica também, a produção dobra quando dobramos
e
.
Resposta
Sim, para ambas as funções de produção de Cobb-Douglas apresentadas, a produção dobrou quando as quantidades de trabalho
e capital
foram dobradas.
Exercícios relacionados
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Esboce o gráfico da função.
Seja
.
(a) Calcule .
(a) Calcule
Determine e esboce o domínio da função.