Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o mapa de contorno da função
mostrando várias curvas de nível. Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são como “fatias” da função em diferentes alturas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
, onde
é uma constante. No nosso caso, queremos desenhar várias dessas curvas para diferentes valores de
.
Passo 3
Vamos começar definindo
:
Para resolver essa equação, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, isolamos
:
Isso nos mostra que para cada valor de
, a curva de nível é um círculo com raio
.
Passo 4
Agora, vamos pensar em diferentes valores de
para desenhar as curvas. É importante notar que
só é definido para
. Além disso, como estamos dividindo 1 por
, precisamos que
, ou seja,
.
Vamos escolher alguns valores de
menores que 1 e maiores que 1 para ver como fica o raio:
- Para
, , então é real e positivo. - Para
, , mas como estamos dividindo por , precisamos que seja positivo. Isso acontece quando apenas, então só consideramos .
Passo 5
Com isso, sabemos que as curvas de nível serão círculos concêntricos ao redor da origem, e o raio aumenta conforme
aumenta. Vamos desenhar alguns círculos para valores de
como 2, 3, 4, etc., onde cada círculo representa uma curva de nível correspondente.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em círculos concêntricos centrados na origem. Cada curva de nível corresponde a um círculo com raio
para diferentes valores de
. À medida que
aumenta, os círculos ficam maiores, representando as diferentes “alturas” da função.
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Calcule:
seja
.
(b) Determine o domínio de ;
(b) Determine o domínio de
Calcule os limites:
Verifique se as funções são contínuas nos pontos.