Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(d) f(x, y) = e^(1 / (x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível. Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são como “fatias” da função em diferentes alturas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem , onde é uma constante. No nosso caso, queremos desenhar várias dessas curvas para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos começar definindo :
Para resolver essa equação, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, isolamos :
Isso nos mostra que para cada valor de , a curva de nível é um círculo com raio .

Passo 4

Agora, vamos pensar em diferentes valores de para desenhar as curvas. É importante notar que só é definido para . Além disso, como estamos dividindo 1 por , precisamos que , ou seja, .
Vamos escolher alguns valores de menores que 1 e maiores que 1 para ver como fica o raio:
  • Para , , então é real e positivo.
  • Para , , mas como estamos dividindo por , precisamos que seja positivo. Isso acontece quando apenas, então só consideramos .

Passo 5

Com isso, sabemos que as curvas de nível serão círculos concêntricos ao redor da origem, e o raio aumenta conforme aumenta. Vamos desenhar alguns círculos para valores de como 2, 3, 4, etc., onde cada círculo representa uma curva de nível correspondente.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em círculos concêntricos centrados na origem. Cada curva de nível corresponde a um círculo com raio para diferentes valores de . À medida que aumenta, os círculos ficam maiores, representando as diferentes “alturas” da função.

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