Obtenha uma equação para o lugar geométrico (ou seja, para o conjunto) dos pontos médios dos segmentos que têm extremidades nos planos dados por pi1: 2x - 3y + 3z - 4 = 0 e pi2: x - y - z + 2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos achar uma equação que descreva todos os pontos médios dos segmentos que ligam dois planos dados. Os planos são:
  • Plano 1 ( ):
  • Plano 2 ( ):
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que temos um ponto no plano e um ponto no plano . A fórmula para o ponto médio M do segmento é:

Passo 3

Como A está em , substituímos suas coordenadas na equação do plano :
E como B está em , substituímos suas coordenadas na equação do plano :

Passo 4

Queremos expressar as coordenadas de M em termos de x, y, z. Vamos chamar as coordenadas de M de (x, y, z). Então:
Podemos isolar e :

Passo 5

Substituímos , , na equação (1):
Simplificando:

Passo 6

Também substituímos , , na equação (2):

Passo 7

Agora, substituímos da equação (4) na equação (3):
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Passo 8

Lembrando que , podemos expressar em termos de e :
Substituindo na equação anterior:

Passo 9

Como estamos buscando uma relação apenas entre x, y, z, precisamos eliminar e . Observando as equações anteriores, podemos perceber que os termos extra se anulam, resultando em:

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos médios é .

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