Obtenha uma equação para o lugar geométrico (ou seja, para o conjunto) dos pontos médios dos segmentos que têm extremidades nos planos dados por pi1: 2x - 3y + 3z - 4 = 0 e pi2: x - y - z + 2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos achar uma equação que descreva todos os pontos médios dos segmentos que ligam dois planos dados. Os planos são:
  • Plano 1 ( ):
  • Plano 2 ( ):
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que temos um ponto no plano e um ponto no plano . A fórmula para o ponto médio M do segmento é:

Passo 3

Como A está em , substituímos suas coordenadas na equação do plano :
E como B está em , substituímos suas coordenadas na equação do plano :

Passo 4

Queremos expressar as coordenadas de M em termos de x, y, z. Vamos chamar as coordenadas de M de (x, y, z). Então:
Podemos isolar e :

Passo 5

Substituímos , , na equação (1):
Simplificando:

Passo 6

Também substituímos , , na equação (2):

Passo 7

Agora, substituímos da equação (4) na equação (3):
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Passo 8

Lembrando que , podemos expressar em termos de e :
Substituindo na equação anterior:

Passo 9

Como estamos buscando uma relação apenas entre x, y, z, precisamos eliminar e . Observando as equações anteriores, podemos perceber que os termos extra se anulam, resultando em:

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos médios é .

Exercícios relacionados

Sendo f(x)=ll3-x & , se x<1 4 & , se x=1 x^2+1 & , se x>1 determine: lim x 1^+ f(x) lim x 1^- f(x) lim x 1 f(x).
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(f) f(x, y) = e^(x y)
Faça um esboço do gráfico da função f dada e encontre, se existir, cada um dos limites lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x) e lim x a f(x); se não existir, indique a razão disto.
a=-4 ; f(x)= x+4 & se x <=-4 4-x & se x>-4
O plano pi contém a reta r: X = (1, 1, 0) + lambda(1, 2, 3), lambda em R, e é transversal aos eixo coordenados O y e O z, interceptando-os, respetivamente, nos pontos A e B. Obtenha a equação geral de pi, sabendo que O, A e B são vértices de um triângulo isósceles.