Obtenha uma equação para o lugar geométrico (ou seja, para o conjunto) dos pontos médios dos segmentos que têm extremidades nos planos dados por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos achar uma equação que descreva todos os pontos médios dos segmentos que ligam dois planos dados. Os planos são:
- Plano 1 (
): - Plano 2 (
):
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que temos um ponto
no plano
e um ponto
no plano
. A fórmula para o ponto médio
do segmento
é:
Passo 3
Como
está em
, substituímos suas coordenadas na equação do plano
:
E como
está em
, substituímos suas coordenadas na equação do plano
:
Passo 4
Queremos expressar as coordenadas de
em termos de
,
,
. Vamos chamar as coordenadas de
de
. Então:
Podemos isolar
e
:
Passo 5
Substituímos
,
,
na equação (1):
Simplificando:
Passo 6
Também substituímos
,
,
na equação (2):
Passo 7
Agora, substituímos
da equação (4) na equação (3):
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Passo 8
Lembrando que
, podemos expressar
em termos de
e
:
Substituindo na equação anterior:
Passo 9
Como estamos buscando uma relação apenas entre
,
,
, precisamos eliminar
e
. Observando as equações anteriores, podemos perceber que os termos extra se anulam, resultando em:
Resposta
A equação do lugar geométrico dos pontos médios é
.