Obtenha uma equação para o lugar geométrico (ou seja, para o conjunto) dos pontos médios dos segmentos que têm extremidades nos planos dados por .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos achar uma equação que descreva todos os pontos médios dos segmentos que ligam dois planos dados. Os planos são:
Plano 1 ():
Plano 2 ():
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que temos um ponto no plano e um ponto no plano . A fórmula para o ponto médio do segmento é:
Passo 3
Como está em , substituímos suas coordenadas na equação do plano :
E como está em , substituímos suas coordenadas na equação do plano :
Passo 4
Queremos expressar as coordenadas de em termos de , , . Vamos chamar as coordenadas de de . Então:
Podemos isolar e :
Passo 5
Substituímos , , na equação (1):
Simplificando:
Passo 6
Também substituímos , , na equação (2):
Passo 7
Agora, substituímos da equação (4) na equação (3):
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Passo 8
Lembrando que , podemos expressar em termos de e :
Substituindo na equação anterior:
Passo 9
Como estamos buscando uma relação apenas entre , , , precisamos eliminar e . Observando as equações anteriores, podemos perceber que os termos extra se anulam, resultando em:
Resposta
A equação do lugar geométrico dos pontos médios é .