Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem que fazer o mapa de contorno da função
. Isso significa que vamos desenhar várias curvas de nível dessa função. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível. Pra resolver, vamos precisar entender como essas curvas são formadas e como escolher diferentes valores para desenhá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são curvas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor constante
, temos
. No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
em termos de
e
:
Isso nos mostra que, para cada valor de
,
é igual a
mais o cosseno de
. Isso nos dá uma família de curvas que são basicamente translações da função cosseno verticalmente.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores para
para desenhar várias curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher
. Isso nos dará três curvas diferentes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Vamos desenhar cada uma dessas curvas:
- Para
: A curva será a função cosseno “baixada” 1 unidade no eixo . - Para
: É simplesmente a função . - Para
: A curva será a função cosseno “levantada” 1 unidade no eixo .
Essas curvas vão se repetir periodicamente a cada
unidades em
, já que o cosseno é uma função periódica.
Passo 6
Juntando tudo, o mapa de contorno vai mostrar várias dessas curvas de nível desenhadas no mesmo gráfico. Cada curva representa um valor diferente de
, mostrando como
varia com
para cada nível da função
.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em várias curvas da forma
para diferentes valores de
. Essas curvas são translações da função cosseno no eixo
, representando diferentes níveis da função.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função.
Determine e esboce o domínio da função.
Seja
.
Determine a imagem de
Determine a imagem de
Seja
.
Determine a imagem .
Determine a imagem