Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que fazer o mapa de contorno da função . Isso significa que vamos desenhar várias curvas de nível dessa função. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível. Pra resolver, vamos precisar entender como essas curvas são formadas e como escolher diferentes valores para desenhá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são curvas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor constante , temos . No nosso caso, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para em termos de e :
Isso nos mostra que, para cada valor de , é igual a mais o cosseno de . Isso nos dá uma família de curvas que são basicamente translações da função cosseno verticalmente.

Passo 4

Vamos escolher alguns valores para para desenhar várias curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher . Isso nos dará três curvas diferentes:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Vamos desenhar cada uma dessas curvas:
  • Para : A curva será a função cosseno “baixada” 1 unidade no eixo .
  • Para : É simplesmente a função .
  • Para : A curva será a função cosseno “levantada” 1 unidade no eixo .
Essas curvas vão se repetir periodicamente a cada unidades em , já que o cosseno é uma função periódica.

Passo 6

Juntando tudo, o mapa de contorno vai mostrar várias dessas curvas de nível desenhadas no mesmo gráfico. Cada curva representa um valor diferente de , mostrando como varia com para cada nível da função .

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em várias curvas da forma para diferentes valores de . Essas curvas são translações da função cosseno no eixo , representando diferentes níveis da função.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função.
Determine e esboce o domínio da função.
Seja .
Determine a imagem de
Seja .
Determine a imagem .