Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mapa de contorno para a função
. O que a gente precisa aqui é desenhar várias curvas de nível dessa função. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e entender como essas curvas representam valores constantes da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
que fazem a função
igual a uma constante
. Ou seja:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função:
Queremos isolar
ou
para entender como a curva se comporta. Vamos reescrever a equação:
Isso mostra que, para cada valor de
, a curva de nível é uma reta linear com inclinação
.
Passo 4
Agora, vamos escolher alguns valores para
e desenhar as correspondentes curvas de nível:
-
Para
: Uma reta que passa pela origem com inclinação 45°. -
Para
: Uma reta que é duas vezes mais inclinada que a anterior. -
Para
: Uma reta que desce da esquerda para a direita.
Passo 5
Ao desenhar todas essas retas no plano
, você verá que as curvas de nível da função
são um conjunto de linhas retas que se cruzam na origem. Cada reta representa um valor constante da função, e a inclinação de cada reta depende do valor escolhido para
.
Resposta
As curvas de nível da função
são retas lineares
para diferentes valores de
. Ao desenhar essas retas no plano
, formam-se linhas que passam pela origem com inclinações variadas, representando o mapa de contorno da função.
Exercícios relacionados
Seja
.
Determine a imagem .
Determine a imagem
Seja
.
Calcule .
Calcule
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Use o teorema da divergência para calcular o fluxo
.
e
é o elipsóide
.