Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mapa de contorno para a função . O que a gente precisa aqui é desenhar várias curvas de nível dessa função. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e entender como essas curvas representam valores constantes da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos que fazem a função igual a uma constante . Ou seja:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função:
Queremos isolar ou para entender como a curva se comporta. Vamos reescrever a equação:
Isso mostra que, para cada valor de , a curva de nível é uma reta linear com inclinação .

Passo 4

Agora, vamos escolher alguns valores para e desenhar as correspondentes curvas de nível:
  • Para :
    Uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  • Para :
    Uma reta que é duas vezes mais inclinada que a anterior.
  • Para :
    Uma reta que desce da esquerda para a direita.

Passo 5

Ao desenhar todas essas retas no plano , você verá que as curvas de nível da função são um conjunto de linhas retas que se cruzam na origem. Cada reta representa um valor constante da função, e a inclinação de cada reta depende do valor escolhido para .

Resposta

As curvas de nível da função são retas lineares para diferentes valores de . Ao desenhar essas retas no plano , formam-se linhas que passam pela origem com inclinações variadas, representando o mapa de contorno da função.

Exercícios relacionados

Seja .
Determine a imagem .
Seja .
Calcule .
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Use o teorema da divergência para calcular o fluxo .
e é o elipsóide .