Seja f(x, y, z) = 1 / raiz(x^2 + y^2 + z^2 - 1).
Determine a imagem f.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a imagem dessa função. Isso envolve descobrir todos os possíveis valores que pode assumir quando , e variam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função: . Para que essa expressão seja válida e real, o que está dentro da raiz precisa ser positivo. Então:
Isso significa que os valores de , e devem satisfazer .

Passo 3

Vamos definir uma nova variável . Com isso, nossa condição fica e a função pode ser reescrita como:

Passo 4

Agora, vamos analisar como se comporta conforme varia. Como :
  • Quando se aproxima de 1 (porém sempre maior que 1), se aproxima de 0, então se aproxima de 0 e tende ao infinito.
  • À medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua e se aproxime de 0.
Portanto, pode assumir qualquer valor positivo.

Resposta

A imagem de é o conjunto de todos os números reais positivos, ou seja, .

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