Seja
.
Determine a imagem
.
Determine a imagem
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar a imagem dessa função. Isso envolve descobrir todos os possíveis valores que
pode assumir quando
,
e
variam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da função:
. Para que essa expressão seja válida e real, o que está dentro da raiz precisa ser positivo. Então:
Isso significa que os valores de
,
e
devem satisfazer
.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
. Com isso, nossa condição fica
e a função
pode ser reescrita como:
Passo 4
Agora, vamos analisar como
se comporta conforme
varia. Como
:
- Quando
se aproxima de 1 (porém sempre maior que 1), se aproxima de 0, então se aproxima de 0 e tende ao infinito. - À medida que
aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua e se aproxime de 0.
Portanto,
pode assumir qualquer valor positivo.
Resposta
A imagem de
é o conjunto de todos os números reais positivos, ou seja,
.
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Seja
.
Calcule .
Calcule
Determine e esboce o domínio da função.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.