Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para fazer o mapa de contorno da função
usando várias curvas de nível. Isso significa que vamos desenhar curvas no plano xy onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, precisamos entender o que são curvas de nível e como elas se comportam para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
tem o mesmo valor constante
. Matematicamente, isso fica:
Nossa missão é resolver essa equação para diferentes valores de
e desenhar essas curvas no plano.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para
em função de
:
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Agora, isolamos
:
Então, para cada valor de
, a curva de nível é dada pela hipérbole
.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores de
para desenhar as curvas de nível. É importante que
porque a função exponencial só assume valores positivos. Por exemplo, podemos escolher
.
-
Para
: Isso nos dá a linha, que é o eixo x. -
Para
: Essa é a hipérbole padrão. -
Para
: Isso resulta na hipérbole, que é mais “esticada” que . -
Para
: Aqui, temos, que é a hipérbole refletida em relação ao eixo x. -
Para
: E essa é a hipérbole.
Passo 5
Agora, vamos visualizar como essas curvas ficam no plano xy:
-
: Linha reta horizontal no eixo x. -
: Hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes, aproximando-se dos eixos conforme aumenta. -
: Hipérbole similar à anterior, mas com valores maiores de para o mesmo . -
: Hipérbole no segundo e quarto quadrantes, semelhante à de mas refletida. -
: Hipérbole refletida e mais “esticada” que .
Resposta
O mapa de contorno da função
é formado por várias hipérboles
para diferentes valores de
, incluindo a linha
quando
. Essas curvas se estendem nos quadrantes apropriados, refletindo o comportamento exponencial da função.