Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para fazer o mapa de contorno da função usando várias curvas de nível. Isso significa que vamos desenhar curvas no plano xy onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, precisamos entender o que são curvas de nível e como elas se comportam para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função tem o mesmo valor constante . Matematicamente, isso fica:
Nossa missão é resolver essa equação para diferentes valores de e desenhar essas curvas no plano.

Passo 3

Vamos resolver a equação para em função de :
Para isolar , aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Agora, isolamos :
Então, para cada valor de , a curva de nível é dada pela hipérbole .

Passo 4

Vamos escolher alguns valores de para desenhar as curvas de nível. É importante que porque a função exponencial só assume valores positivos. Por exemplo, podemos escolher .
  • Para :
    Isso nos dá a linha , que é o eixo x.
  • Para :
    Essa é a hipérbole padrão .
  • Para :
    Isso resulta na hipérbole , que é mais “esticada” que .
  • Para :
    Aqui, temos , que é a hipérbole refletida em relação ao eixo x.
  • Para :
    E essa é a hipérbole .

Passo 5

Agora, vamos visualizar como essas curvas ficam no plano xy:
  • : Linha reta horizontal no eixo x.
  • : Hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes, aproximando-se dos eixos conforme aumenta.
  • : Hipérbole similar à anterior, mas com valores maiores de para o mesmo .
  • : Hipérbole no segundo e quarto quadrantes, semelhante à de mas refletida.
  • : Hipérbole refletida e mais “esticada” que .

Resposta

O mapa de contorno da função é formado por várias hipérboles para diferentes valores de , incluindo a linha quando . Essas curvas se estendem nos quadrantes apropriados, refletindo o comportamento exponencial da função.

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Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Seja .
Determine a imagem .
Use o teorema da divergência para calcular o fluxo .
e é o elipsóide .
A figura abaixo mostra um ponto sobre a parábola e um ponto onde a perpendicular que bissecta intercepta o eixo . À medida que tente a origem ao longo da parábola, o que acontece com ? Ele tende a uma posição limite? Se sim, encontre-a.
[Sugestão: Seja o ponto médio de OP , basta considerar que as retas OP e MQ são perpendiculares e relacionas seus coeficientes angulares e encontrar as coordenas de Q e depois tomar o limite quando x tende a 0]