Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede: queremos fazer o mapa de contorno, também conhecidas como curvas de nível, da função
. Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como identificá-las para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Matematicamente, isso é representado por
.
Passo 3
Então, para a nossa função
, queremos encontrar todas as curvas onde
, onde
é uma constante.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para
e
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Passo 5
A equação
representa um círculo com centro na origem
e raio
. Isso significa que, para cada valor de
, temos um círculo diferente no plano
.
Passo 6
Para construir o mapa de contorno, escolhemos diferentes valores de
e desenhamos os círculos correspondentes. Por exemplo:
- Para
: → círculo de raio 1. - Para
: → círculo de raio aproximadamente 2.828. - E assim por diante para outros valores de
.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em uma série de círculos concêntricos com centro na origem e raios
, onde
é uma constante positiva.
Exercícios relacionados
Seja dada
. Calcule
.
Mostre que o limite não existe.
Mostre que o limite não existe.
Seja dada
. Determine e descreva o domínio de
.