Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede: queremos fazer o mapa de contorno, também conhecidas como curvas de nível, da função . Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como identificá-las para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Matematicamente, isso é representado por .

Passo 3

Então, para a nossa função , queremos encontrar todas as curvas onde , onde é uma constante.

Passo 4

Vamos resolver a equação para e . Primeiro, elevamos ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:

Passo 5

A equação representa um círculo com centro na origem e raio . Isso significa que, para cada valor de , temos um círculo diferente no plano .

Passo 6

Para construir o mapa de contorno, escolhemos diferentes valores de e desenhamos os círculos correspondentes. Por exemplo:
  • Para : → círculo de raio 1.
  • Para : → círculo de raio aproximadamente 2.828.
  • E assim por diante para outros valores de .

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em uma série de círculos concêntricos com centro na origem e raios , onde é uma constante positiva.

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Mostre que o limite não existe.
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