Seja dada
. Determine e descreva o domínio de
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício: temos a função
e precisamos descobrir qual é o domínio dela. Isso significa que temos que encontrar todos os valores de
,
e
que fazem a função funcionar direitinho. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, representado por
, só está definido para números positivos. Ou seja, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, temos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade para achar as condições que
,
e
precisam satisfazer. Vamos isolar
:
Isso significa que
tem que ser maior que a raiz quadrada da soma dos quadrados de
e
.
Passo 4
Vamos pensar no que
representa. Essa expressão calcula a distância do ponto
até a origem no plano
. Então, para cada par de valores
,
precisa ser maior que essa distância.
Passo 5
Visualizando isso no espaço tridimensional, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que estão acima do cone definido por
. Ou seja,
deve ser sempre maior que a distância do ponto
até a origem.
Resposta
O domínio de
é o conjunto de todos os números reais
,
e
tais que
. Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos no espaço acima do cone
.