Seja dada f(x, y, z) = ln(z - raiz(x^2 + y^2)). Determine e descreva o domínio de f.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício: temos a função e precisamos descobrir qual é o domínio dela. Isso significa que temos que encontrar todos os valores de , e que fazem a função funcionar direitinho. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, representado por , só está definido para números positivos. Ou seja, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, temos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para achar as condições que , e precisam satisfazer. Vamos isolar :
Isso significa que tem que ser maior que a raiz quadrada da soma dos quadrados de e .

Passo 4

Vamos pensar no que representa. Essa expressão calcula a distância do ponto até a origem no plano . Então, para cada par de valores , precisa ser maior que essa distância.

Passo 5

Visualizando isso no espaço tridimensional, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos que estão acima do cone definido por . Ou seja, deve ser sempre maior que a distância do ponto até a origem.

Resposta

O domínio de é o conjunto de todos os números reais , e tais que . Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos no espaço acima do cone .

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