Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x^2+x y^2x^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar o limite da função f(x, y) = x^2 + x y^2x^4 + y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo aqui é sobre limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o limite existe ou não, testando diferentes caminhos de aproximação para o ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, para determinar se o limite existe, vamos analisar a função ao aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos. Se o valor do limite variar dependendo do caminho escolhido, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher alguns caminhos simples para testar:
Caminho 1: Ao longo do eixo x (y = 0)
Substituímos y = 0 na função:
f(x, 0) = x^2 + x cdot 0^2x^4 + 0^2 = x^2x^4 = 1x^2
À medida que x 0, 1x^2 tende ao infinito. Então, nesse caminho, o limite não é finito.
Caminho 2: Ao longo do eixo y (x = 0)
Substituímos x = 0 na função:
f(0, y) = 0^2 + 0 cdot y^20^4 + y^2 = 0y^2 = 0
Aqui, o limite é 0 quando y 0.
Caminho 3: Linha reta y = kx (por exemplo, y = x)
Substituímos y = x na função:
f(x, x) = x^2 + x cdot x^2x^4 + x^2 = x^2 + x^3x^4 + x^2 = x^2(1 + x)x^2(x^2 + 1) = 1 + xx^2 + 1
À medida que x 0, 1 + xx^2 + 1 11 = 1.

Passo 4

Agora, observamos que ao aproximar pelo eixo x, o limite tende ao infinito; pelo eixo y, tende a 0; e pela linha y = x, tende a 1. Como os valores do limite são diferentes dependendo do caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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