Faça uma mudança de coordenadas conveniente para simplificar a equação abaixo e reconheça a cônica correspondente. Faça um esboço da mesma.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação de segundo grau em
e
:
O nosso objetivo é fazer uma mudança de coordenadas para simplificar essa equação e identificar qual tipo de cônica ela representa (como uma elipse, hipérbole, etc.). Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente a rotação de eixos para eliminar o termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o ângulo de rotação necessário para eliminar o termo
. A fórmula para o ângulo
é:
Substituindo os valores:
Isso significa que
(ou 90 graus), então
(45 graus).
Passo 4
Com o ângulo
, vamos usar as fórmulas de mudança de coordenadas:
Como
, temos:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação original:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos expandir os termos quadráticos:
Passo 7
Agora, somando todos os termos quadráticos:
Simplificando:
Percebeu? O termo
sumiu, como queríamos!
Passo 8
Agora, vamos simplificar os termos lineares e constantes. Substituindo
e
:
Somando:
Então, a equação fica:
Passo 9
Vamos completar os quadrados para
e
:
- Para
:
- Para
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Dividindo tudo por 4:
Passo 10
A equação final é:
Isso representa uma elipse com centro em
, eixo maior ao longo do eixo
e eixo menor ao longo do eixo
.
Resposta
A equação dada, após uma mudança conveniente de coordenadas, simplifica-se para uma elipse com centro em
, eixo maior ao longo do eixo
e eixo menor ao longo do eixo
. O esboço dessa elipse mostrará essas características centrais e orientações.
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Sejam
uma matriz
e
uma matriz
invertível. Se
for uma solução do sistema linear
, então
será uma solução do sistema linear
.
Seja
uma base para o espaço vetorial
das matrizes reais simétrica
. Encontre as coordenadas da matriz
em relação à base
, onde:
(b)
(b)
A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?
A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?