Faça uma mudança de coordenadas conveniente para simplificar a equação abaixo e reconheça a cônica correspondente. Faça um esboço da mesma.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação de segundo grau em e :
O nosso objetivo é fazer uma mudança de coordenadas para simplificar essa equação e identificar qual tipo de cônica ela representa (como uma elipse, hipérbole, etc.). Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente a rotação de eixos para eliminar o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo de rotação necessário para eliminar o termo . A fórmula para o ângulo é:
Substituindo os valores:
Isso significa que (ou 90 graus), então (45 graus).

Passo 4

Com o ângulo , vamos usar as fórmulas de mudança de coordenadas:
Como , temos:

Passo 5

Vamos substituir e na equação original:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos expandir os termos quadráticos:

Passo 7

Agora, somando todos os termos quadráticos:
Simplificando:
Percebeu? O termo sumiu, como queríamos!

Passo 8

Agora, vamos simplificar os termos lineares e constantes. Substituindo e :
Somando:
Então, a equação fica:

Passo 9

Vamos completar os quadrados para e :
  1. Para :
  1. Para :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Dividindo tudo por 4:

Passo 10

A equação final é:
Isso representa uma elipse com centro em , eixo maior ao longo do eixo e eixo menor ao longo do eixo .

Resposta

A equação dada, após uma mudança conveniente de coordenadas, simplifica-se para uma elipse com centro em , eixo maior ao longo do eixo e eixo menor ao longo do eixo . O esboço dessa elipse mostrará essas características centrais e orientações.

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(b)
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