Faça uma mudança de coordenadas conveniente para simplificar a equação abaixo e reconheça a cônica correspondente. Faça um esboço da mesma.
G(x, y)=3 x^2+2 x y+3 y^2+6 raiz2 x+2 raiz2 y+2=0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação de segundo grau em 3x^2 + 2xy + 3y^2 + 6raiz2x + 2raiz2y + 2 = 0 e :
O nosso objetivo é fazer uma mudança de coordenadas para simplificar essa equação e identificar qual tipo de cônica ela representa (como uma elipse, hipérbole, etc.). Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente a rotação de eixos para eliminar o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo de rotação necessário para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C . A fórmula para o ângulo tan(2theta) = 23 - 3 = 20 é:
Substituindo os valores:
Isso significa que (ou 90 graus), então (45 graus).

Passo 4

Com o ângulo x = Xcostheta - Ysintheta , vamos usar as fórmulas de mudança de coordenadas:
y = Xsintheta + Ycostheta
x = raiz22X - raiz22Y
Como y = raiz22X + raiz22Y , temos:

Passo 5

Vamos substituir 3(raiz22X - raiz22Y)^2 + 2(raiz22X - raiz22Y)(raiz22X + raiz22Y) + 3(raiz22X + raiz22Y)^2 + 6raiz2(raiz22X - raiz22Y) + 2raiz2(raiz22X + raiz22Y) + 2 = 0 e na equação original:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos expandir os termos quadráticos:

Passo 7

Agora, somando todos os termos quadráticos:
32(X^2 - 2XY + Y^2) + (X^2 - Y^2) + 32(X^2 + 2XY + Y^2) = 32X^2 - 3XY + 32Y^2 + X^2 - Y^2 + 32X^2 + 3XY + 32Y^2
Simplificando:
(32 + 1 + 32)X^2 + (-3XY + 3XY) + (32 - 1 + 32)Y^2 = 4X^2 + 0XY + 2Y^2
Percebeu? O termo sumiu, como queríamos!

Passo 8

Agora, vamos simplificar os termos lineares e constantes. Substituindo 6X - 6Y + 2X + 2Y = 8X - 4Y e 4X^2 + 2Y^2 + 8X - 4Y + 2 = 0 :
Somando:
Então, a equação fica:

Passo 9

Vamos completar os quadrados para 4X^2 + 8X = 4(X^2 + 2X) = 4((X + 1)^2 - 1) = 4(X + 1)^2 - 4 e 2Y^2 - 4Y = 2(Y^2 - 2Y) = 2((Y - 1)^2 - 1) = 2(Y - 1)^2 - 2 :
  1. Para 4(X + 1)^2 - 4 + 2(Y - 1)^2 - 2 + 2 = 0 :
4(X + 1)^2 + 2(Y - 1)^2 - 4 - 2 + 2 = 4(X + 1)^2 + 2(Y - 1)^2 - 4 = 0
  1. Para 4(X + 1)^2 + 2(Y - 1)^2 = 4 :
(X + 1)^2 + (Y - 1)^22 = 1
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Dividindo tudo por 4:

Passo 10

A equação final é:
(X + 1)^21 + (Y - 1)^22 = 1
Isso representa uma elipse com centro em , eixo maior ao longo do eixo e eixo menor ao longo do eixo .

Resposta

A equação dada, após uma mudança conveniente de coordenadas, simplifica-se para uma elipse com centro em , eixo maior ao longo do eixo e eixo menor ao longo do eixo . O esboço dessa elipse mostrará essas características centrais e orientações.

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