Beleza, vamos lá! A pergunta aqui é se a matriz que você mostrou é diagonalizável. Para responder isso, a gente precisa entender o que significa uma matriz ser diagonalizável. Basicamente, uma matriz é diagonalizável se ela pode ser transformada em uma matriz diagonal usando uma mudança de base. Para verificar isso, vamos precisar encontrar os valores próprios da matriz e ver se a multiplicidade geométrica (número de vetores próprios diferentes) de cada valor próprio é igual à sua multiplicidade algébrica (quantas vezes o valor próprio aparece).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de . Os valores próprios são soluções da equação característica: , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Passo 3
Calculando a equação característica:
Para achar o determinante, observamos que a matriz é quase diagonal, com alguns elementos acima da diagonal principal. O determinante será o produto dos diagonais, já que os outros termos não influenciam nesse caso específico:
Igualando a zero:
Então, o único valor próprio é , com multiplicidade algébrica 5.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica de . Isso significa encontrar o espaço nulo de , ou seja, resolver .
Passo 5
Resolvendo :
Das equações acima, temos:
As outras variáveis () são livres, ou seja, podem ser qualquer número real.
Isso significa que a dimensão do espaço nulo (multiplicidade geométrica) é 3.
Passo 6
Comparando multiplicidades:
Multiplicidade algébrica de : 5
Multiplicidade geométrica de : 3
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada valor próprio precisa ser igual à sua multiplicidade algébrica. Aqui, 3 ≠ 5.
Resposta
Não, a matriz não é diagonalizável porque o valor próprio tem multiplicidade algébrica 5, mas sua multiplicidade geométrica é apenas 3, o que não satisfaz as condições necessárias para diagonalização.