A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta aqui é se a matriz que você mostrou é diagonalizável. Para responder isso, a gente precisa entender o que significa uma matriz ser diagonalizável. Basicamente, uma matriz é diagonalizável se ela pode ser transformada em uma matriz diagonal usando uma mudança de base. Para verificar isso, vamos precisar encontrar os valores próprios da matriz e ver se a multiplicidade geométrica (número de vetores próprios diferentes) de cada valor próprio é igual à sua multiplicidade algébrica (quantas vezes o valor próprio aparece).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de . Os valores próprios são soluções da equação característica: , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.

Passo 3

Calculando a equação característica:
Para achar o determinante, observamos que a matriz é quase diagonal, com alguns elementos acima da diagonal principal. O determinante será o produto dos diagonais, já que os outros termos não influenciam nesse caso específico:
Igualando a zero:
Então, o único valor próprio é , com multiplicidade algébrica 5.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica de . Isso significa encontrar o espaço nulo de , ou seja, resolver .

Passo 5

Resolvendo :
Das equações acima, temos:

  • As outras variáveis ( ) são livres, ou seja, podem ser qualquer número real.
Isso significa que a dimensão do espaço nulo (multiplicidade geométrica) é 3.

Passo 6

Comparando multiplicidades:
  • Multiplicidade algébrica de : 5
  • Multiplicidade geométrica de : 3
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada valor próprio precisa ser igual à sua multiplicidade algébrica. Aqui, 3 ≠ 5.

Resposta

Não, a matriz não é diagonalizável porque o valor próprio tem multiplicidade algébrica 5, mas sua multiplicidade geométrica é apenas 3, o que não satisfaz as condições necessárias para diagonalização.

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