Faça o que se pede:
(e) Determine a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivada direcional. A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto (1,1) na direção do vetor v = ⟨4, -3⟩. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o vetor direcional correto e aplicar a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Básico, é como se a gente quisesse saber o quão rápido a função está aumentando ou diminuindo naquela direção.

Passo 3

A fórmula para calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor é:
Onde:
  • e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Primeiro, precisamos transformar o vetor em um vetor unitário . Isso é feito dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo (ou comprimento).
O módulo de é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto . Vamos supor que a função seja dada (já que não foi especificada). Vamos chamar as derivadas parciais de e .

Passo 6

Aplicando a fórmula da derivada direcional:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto (1,1) na direção do vetor é:

Exercícios relacionados

Seja verifique que :
Calcule :
(j)
Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar .
(a) Encontre sua equação cartesiana.
Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar .
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.