Faça o que se pede:
(e) Determine a derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
.
(e) Determine a derivada direcional da função no ponto
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivada direcional. A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto (1,1) na direção do vetor v = ⟨4, -3⟩. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o vetor direcional correto e aplicar a fórmula apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Básico, é como se a gente quisesse saber o quão rápido a função está aumentando ou diminuindo naquela direção.
Passo 3
A fórmula para calcular a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
é:
Onde:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. -
é o vetor unitário na direção de .
Passo 4
Primeiro, precisamos transformar o vetor
em um vetor unitário
. Isso é feito dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo (ou comprimento).
O módulo de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 5
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
no ponto
. Vamos supor que a função
seja dada (já que não foi especificada). Vamos chamar as derivadas parciais de
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da derivada direcional:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto (1,1) na direção do vetor
é: