Faça o que se pede:
(e) Determine a derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
.
(e) Determine a derivada direcional da função no ponto
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivada direcional. A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto (1,1) na direção do vetor v = ⟨4, -3⟩. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o vetor direcional correto e aplicar a fórmula apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Básico, é como se a gente quisesse saber o quão rápido a função está aumentando ou diminuindo naquela direção.
Passo 3
A fórmula para calcular a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
é:
Onde:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. -
é o vetor unitário na direção de .
Passo 4
Primeiro, precisamos transformar o vetor
em um vetor unitário
. Isso é feito dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo (ou comprimento).
O módulo de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 5
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
no ponto
. Vamos supor que a função
seja dada (já que não foi especificada). Vamos chamar as derivadas parciais de
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da derivada direcional:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto (1,1) na direção do vetor
é:
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Seja
verifique que :
Calcule
:
(j)
(j)
Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar .
(a) Encontre sua equação cartesiana.
Considere a curva descrita pela equação polar
(a) Encontre sua equação cartesiana.
Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar .
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Considere a curva descrita pela equação polar
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.