Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar
.
(a) Encontre sua equação cartesiana.
Considere a curva descrita pela equação polar
(a) Encontre sua equação cartesiana.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma curva definida na forma polar pela equação
. O que a questão pede é para transformar essa equação em coordenadas cartesianas (ou seja, em termos de x e y). Para isso, vamos usar algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que fazem a ponte entre os dois sistemas de coordenadas:
Essas relações vão nos ajudar a substituir os termos em coordenadas polares por termos em x e y.
Passo 3
Agora, vamos começar a transformar a equação polar. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para facilitar a substituição:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 4
Precisamos agora expressar
em termos de x e y. Usando a fórmula do cosseno do ângulo duplo, temos:
Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Como
, substituímos novamente:
Passo 5
Para eliminar a raiz, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Mas, para simplificar ainda mais, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para se livrar do expoente fracionário:
No entanto, uma forma mais simples e comum de expressar a equação cartesiana sem radicais é:
Resposta
A equação cartesiana da curva é
.
Exercícios relacionados
Faça o que se pede:
(e) Determine a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor
.
(e) Determine a derivada direcional da função no ponto
Seja
verifique que :
Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar .
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Considere a curva descrita pela equação polar
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Seja
uma função diferenciável onde
. Calcule
.