Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar .
(a) Encontre sua equação cartesiana.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma curva definida na forma polar pela equação . O que a questão pede é para transformar essa equação em coordenadas cartesianas (ou seja, em termos de x e y). Para isso, vamos usar algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que fazem a ponte entre os dois sistemas de coordenadas:
Essas relações vão nos ajudar a substituir os termos em coordenadas polares por termos em x e y.

Passo 3

Agora, vamos começar a transformar a equação polar. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por para facilitar a substituição:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

Precisamos agora expressar em termos de x e y. Usando a fórmula do cosseno do ângulo duplo, temos:
Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Como , substituímos novamente:

Passo 5

Para eliminar a raiz, vamos multiplicar ambos os lados por :
Mas, para simplificar ainda mais, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para se livrar do expoente fracionário:
No entanto, uma forma mais simples e comum de expressar a equação cartesiana sem radicais é:

Resposta

A equação cartesiana da curva é .

Exercícios relacionados

Faça o que se pede:
(e) Determine a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
Seja verifique que :
Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar .
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Seja uma função diferenciável onde . Calcule .