Seja
verifique que :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
satisfaz a equação diferencial
. Então, vamos precisar trabalhar com derivadas de funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar lembrar como derivar essas funções e aplicar as regras de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. A função
é um produto de
e
, então vamos usar a regra do produto para derivar:
Vamos derivar cada parte:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
em relação a
. Vamos derivar
:
Aplicando a regra do produto novamente a cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Agora, somando os dois resultados:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir na equação dada:
Vamos simplificar termo a termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
e - Terceiro termo:
Agora, somando todos:
Passo 5
Agora, olhamos para a expressão que obtivemos:
Para verificar se isso é igual a zero, percebemos que, a menos que
, o que nunca ocorre para valores reais de
, a soma dos termos com senos e cossenos não cancela totalmente. Portanto, a equação
não é satisfeita pela função
.
No entanto, essa conclusão contradiz o enunciado do exercício, que pede para verificar que a igualdade é verdadeira. Isso indica que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar rapidamente os passos.
Passo 6
Revisando o passo 3, a segunda derivada estava correta:
No passo 4, a substituição na equação deu:
Repare que na verdade, ao derivar
, o resultado correto deveria ser:
Isso muda toda a equação. Vamos corrigir isso:
Substituindo na equação original:
Ainda não chega a zero, indicando que a função
não satisfaz a equação diferencial dada. Parece que há alguma inconsistência no enunciado ou nas derivadas calculadas. Recomendo revisar os cálculos ou verificar se a função e a equação estão corretas.
Resposta
Após recalcular, percebemos que a função
não satisfaz a equação diferencial
. Pode ser necessário revisar os cálculos ou confirmar se a função e a equação estão corretas.
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Calcule
:
(j)
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.
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Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar .
(a) Encontre sua equação cartesiana.
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