Seja verifique que :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função satisfaz a equação diferencial . Então, vamos precisar trabalhar com derivadas de funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar lembrar como derivar essas funções e aplicar as regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . A função é um produto de e , então vamos usar a regra do produto para derivar:
Vamos derivar cada parte:
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de em relação a . Vamos derivar :
Aplicando a regra do produto novamente a cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Agora, somando os dois resultados:

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir na equação dada:
Vamos simplificar termo a termo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo: e
  3. Terceiro termo:
Agora, somando todos:

Passo 5

Agora, olhamos para a expressão que obtivemos:
Para verificar se isso é igual a zero, percebemos que, a menos que , o que nunca ocorre para valores reais de , a soma dos termos com senos e cossenos não cancela totalmente. Portanto, a equação não é satisfeita pela função .
No entanto, essa conclusão contradiz o enunciado do exercício, que pede para verificar que a igualdade é verdadeira. Isso indica que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar rapidamente os passos.

Passo 6

Revisando o passo 3, a segunda derivada estava correta:
No passo 4, a substituição na equação deu:
Repare que na verdade, ao derivar , o resultado correto deveria ser:
Isso muda toda a equação. Vamos corrigir isso:
Substituindo na equação original:
Ainda não chega a zero, indicando que a função não satisfaz a equação diferencial dada. Parece que há alguma inconsistência no enunciado ou nas derivadas calculadas. Recomendo revisar os cálculos ou verificar se a função e a equação estão corretas.

Resposta

Após recalcular, percebemos que a função não satisfaz a equação diferencial . Pode ser necessário revisar os cálculos ou confirmar se a função e a equação estão corretas.

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