(1 pontos) Quando colocamos uma carga elétrica
com o mesmo sinal que
em
, ela é acelerada ao longo do eixo
afastando-se da haste. Determine a variação da sua energia cinética quando ela chega em
. (Dica: se necessário, use
onde
é uma constante.) Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga elétrica
que tem o mesmo sinal de uma distribuição linear de carga com densidade
. Essa carga
está inicialmente em
e é acelerada ao longo do eixo
até
. A gente precisa descobrir como a energia cinética dela varia nesse trajeto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade como força elétrica e energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma haste com densidade linear de carga
cria um campo elétrico ao seu redor. A força que o campo elétrico exerce sobre a carga
é dada por:
onde
é o campo elétrico produzido pela haste.
Passo 3
O campo elétrico
gerado por uma haste infinita com densidade de carga
é:
mas como a haste é finita e a carga está entre
e
, precisamos integrar para encontrar o campo total no ponto onde está a carga
.
Passo 4
Para encontrar o trabalho realizado pela força elétrica quando a carga
se move de
para
, usamos:
Substituindo
:
Resolvendo a integral:
Passo 5
A variação da energia cinética
da carga
é igual ao trabalho realizado pela força elétrica:
Resposta
A variação da energia cinética quando a carga
se move de
para
é:
Exercícios relacionados
(4 pontos) Considerando que o potencial elétrico é definido como zero no infinito, determine o potencial elétrico ao longo do eixo,
, para todos os valores de
. Justifique sua resposta.
Faça o que se pede:
A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
A série
(3 pontos) Uma quarta carga,
, é trazida lentamente do infinito até o ponto P. Qual trabalho realizado pelo agente externo nesse processo? Qual o significado físico do sinal de sua resposta?
Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge: