(1 pontos) Quando colocamos uma carga elétrica q com o mesmo sinal que lambda em x=-a, ela é acelerada ao longo do eixo x afastando-se da haste. Determine a variação da sua energia cinética quando ela chega em x=-b. (Dica: se necessário, use 1x(c-x)=1x c+1c(c-x) onde c é uma constante.) Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga elétrica que tem o mesmo sinal de uma distribuição linear de carga com densidade . Essa carga está inicialmente em e é acelerada ao longo do eixo até . A gente precisa descobrir como a energia cinética dela varia nesse trajeto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade como força elétrica e energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma haste com densidade linear de carga F = qE cria um campo elétrico ao seu redor. A força que o campo elétrico exerce sobre a carga é dada por:
onde é o campo elétrico produzido pela haste.

Passo 3

O campo elétrico E = lambda2pi varepsilon0 x gerado por uma haste infinita com densidade de carga é:
mas como a haste é finita e a carga está entre e , precisamos integrar para encontrar o campo total no ponto onde está a carga .

Passo 4

Para encontrar o trabalho realizado pela força elétrica quando a carga W = integral-a^-b F , dx = q integral-a^-b E , dx se move de W = q integral-a^-b lambda2pi varepsilon0 x , dx = qlambda2pi varepsilon0 integral-a^-b 1x , dx para W = qlambda2pi varepsilon0 ( ln|x| )-a^-b = qlambda2pi varepsilon0 ( ln(ba) ) , usamos:
Substituindo :
Resolvendo a integral:

Passo 5

A variação da energia cinética De da carga é igual ao trabalho realizado pela força elétrica:

Resposta

A variação da energia cinética quando a carga De se move de para é:

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