Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial de segunda ordem . Vamos usar o método de redução de ordem pra resolver isso. Pra isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares e encontrar soluções particulares e gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Isso significa que ignoramos o termo porque ele é o “forçado” na equação não homogênea.

Passo 3

A equação homogênea é . Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 4

Substituindo na equação homogênea:
Então, a equação fica:

Passo 5

Fatorando (que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 6

Com os valores de , as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos supor que tenha a forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Calculando as derivadas de :

Passo 9

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 10

Igualando os coeficientes dos termos e :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então:

Passo 11

Assim, a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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