Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial de segunda ordem
. Vamos usar o método de redução de ordem pra resolver isso. Pra isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares e encontrar soluções particulares e gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Isso significa que ignoramos o termo
porque ele é o “forçado” na equação não homogênea.
Passo 3
A equação homogênea é
. Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 4
Substituindo
na equação homogênea:
Então, a equação fica:
Passo 5
Fatorando
(que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 6
Com os valores de
, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos supor que
tenha a forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Passo 9
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 10
Igualando os coeficientes dos termos
e
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então:
Passo 11
Assim, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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