Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando a redução de ordem. A equação que temos é:
Isso significa que vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como a redução de ordem funciona para encontrar soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial de segunda ordem. Ela envolve a segunda derivada da função
, que é
, e possivelmente outras derivadas e a própria função
. No nosso caso, a equação é:
Isso é uma equação linear homogênea porque os termos de
e suas derivadas estão de um lado, igualados a zero.
Passo 3
A redução de ordem é uma técnica usada para resolver equações diferenciais quando já sabemos uma solução da equação. No caso de uma equação de segunda ordem, se sabemos uma solução
, podemos encontrar uma segunda solução
de forma mais simples.
Como o enunciado não nos dá uma solução inicial, vamos primeiro encontrar uma solução básica para poder aplicar a redução de ordem.
Passo 4
Vamos supor que a solução
tem a forma de uma função exponencial:
Onde
é uma constante que precisamos determinar. Vamos derivar essa função:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Portanto, temos duas soluções para a equação diferencial:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Substituindo
e
:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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