Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando a redução de ordem. A equação que temos é:
Isso significa que vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como a redução de ordem funciona para encontrar soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial de segunda ordem. Ela envolve a segunda derivada da função , que é , e possivelmente outras derivadas e a própria função . No nosso caso, a equação é:
Isso é uma equação linear homogênea porque os termos de e suas derivadas estão de um lado, igualados a zero.

Passo 3

A redução de ordem é uma técnica usada para resolver equações diferenciais quando já sabemos uma solução da equação. No caso de uma equação de segunda ordem, se sabemos uma solução , podemos encontrar uma segunda solução de forma mais simples.
Como o enunciado não nos dá uma solução inicial, vamos primeiro encontrar uma solução básica para poder aplicar a redução de ordem.

Passo 4

Vamos supor que a solução tem a forma de uma função exponencial:
Onde é uma constante que precisamos determinar. Vamos derivar essa função:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação original:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Portanto, temos duas soluções para a equação diferencial:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Substituindo e :
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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