Faça restrições no domínio e/ou contradomínio das funções trigonométricas abaixo para que se tornem bijetoras. Neste caso, determine a inversa de cada função e esboce no mesmo plano coordenado o gráfico da função e da sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente tem duas funções trigonométricas:
O objetivo é restringir o domínio e/ou o contradomínio dessas funções para que elas se tornem bijetoras. Isso significa que cada função precisa ser injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de saídas possíveis). Depois, vamos encontrar as inversas dessas funções e desenhar os gráficos delas junto com suas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre injetividade e sobrejetividade.
- Injetora: Não pode ter dois
diferentes apontando para o mesmo . - Sobrejetora: Precisa cobrir todo o conjunto de possíveis valores de
.
Para as funções trigonométricas como
e
, elas normalmente não são bijetoras no seu domínio completo porque não são injetoras e/ou não são sobrejetoras. Então, a gente precisa restringir o domínio dessas funções para que elas se tornem bijetoras.
Passo 3
Vamos começar com
.
A função tangente tem um período de
e apresenta assíntotas verticais em
, onde
é um inteiro. Por isso, o domínio já está restrito para
.
Mas para a tangente ser injetora, precisamos escolher um intervalo onde ela não se repita. O intervalo padrão que fazemos isso é
. Nesse intervalo, a tangente é estritamente crescente e cobre todo o conjunto de números reais, tornando-a também sobrejetora.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inversa de
.
Para encontrar a inversa, a gente troca
por
e resolve para
:
Então, a inversa de
é
.
Passo 5
Agora vamos passar para
.
A função secante é definida como
. O domínio da secante é
, onde a função tem assíntotas verticais.
Para que a secante seja injetora, vamos restringir o domínio para onde ela é estritamente crescente ou decrescente. O intervalo ideal para isso é
. Porém, para simplificar e garantir que seja uma função inversa clara, vamos escolher
.
Dentro desse intervalo,
é crescente e cobre
, o que também a torna sobrejetora nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a inversa de
.
Para isso, a gente troca
por
e resolve para
:
Então, a inversa de
é
.
Resposta
Restringindo o domínio de
para
, a função se torna bijetora com inversa
. Para
, restringindo o domínio para
, a função também se torna bijetora com inversa
. Os gráficos dessas funções e suas inversas serão reflexos uma da outra em relação à reta
no mesmo plano coordenado.