Faça restrições no domínio e/ou contradomínio das funções trigonométricas abaixo para que se tornem bijetoras. Neste caso, determine a inversa de cada função e esboce no mesmo plano coordenado o gráfico da função e da sua inversa. f: R - {pi/2 + k pi, k in Z} -> R
f(x) = tg(x)
f(x) = sec(x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente tem duas funções trigonométricas:
O objetivo é restringir o domínio e/ou o contradomínio dessas funções para que elas se tornem bijetoras. Isso significa que cada função precisa ser injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de saídas possíveis). Depois, vamos encontrar as inversas dessas funções e desenhar os gráficos delas junto com suas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre injetividade e sobrejetividade.
  • Injetora: Não pode ter dois diferentes apontando para o mesmo .
  • Sobrejetora: Precisa cobrir todo o conjunto de possíveis valores de .
Para as funções trigonométricas como e , elas normalmente não são bijetoras no seu domínio completo porque não são injetoras e/ou não são sobrejetoras. Então, a gente precisa restringir o domínio dessas funções para que elas se tornem bijetoras.

Passo 3

Vamos começar com .
A função tangente tem um período de e apresenta assíntotas verticais em , onde é um inteiro. Por isso, o domínio já está restrito para .
Mas para a tangente ser injetora, precisamos escolher um intervalo onde ela não se repita. O intervalo padrão que fazemos isso é . Nesse intervalo, a tangente é estritamente crescente e cobre todo o conjunto de números reais, tornando-a também sobrejetora.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inversa de .
Para encontrar a inversa, a gente troca por e resolve para :
Então, a inversa de é .

Passo 5

Agora vamos passar para .
A função secante é definida como . O domínio da secante é , onde a função tem assíntotas verticais.
Para que a secante seja injetora, vamos restringir o domínio para onde ela é estritamente crescente ou decrescente. O intervalo ideal para isso é . Porém, para simplificar e garantir que seja uma função inversa clara, vamos escolher .
Dentro desse intervalo, é crescente e cobre , o que também a torna sobrejetora nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa de .
Para isso, a gente troca por e resolve para :
Então, a inversa de é .

Resposta

Restringindo o domínio de para , a função se torna bijetora com inversa . Para , restringindo o domínio para , a função também se torna bijetora com inversa . Os gráficos dessas funções e suas inversas serão reflexos uma da outra em relação à reta no mesmo plano coordenado.

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