Mostre as identidades:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que as duas expressões trigonométricas dadas são iguais:
Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas, que são fórmulas que relacionam funções trigonométricas de diferentes ângulos. Precisaremos aplicar identidades de soma e diferença de senos e cossenos para simplificar as expressões e verificar se elas realmente são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador do lado esquerdo da equação. Vamos usar as identidades de soma de cossenos e diferença de senos:
Essas identidades ajudam a transformar a soma e a diferença de cossenos e senos em produtos, o que facilita a simplificação.
Passo 3
Agora, substituímos essas identidades na fração do lado esquerdo:
Passo 4
Podemos simplificar a fração cancelando os termos comuns no numerador e no denominador:
Aqui, usamos a definição de cotangente, que é o cosseno dividido pelo seno do mesmo ângulo.
Passo 5
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Usaremos as identidades de soma de senos e diferença de cossenos:
Passo 6
Substituímos essas identidades na fração do lado direito:
Passo 7
Simplificamos a fração cancelando os termos comuns e o sinal negativo:
Apesar do sinal negativo, observamos que as duas frações são iguais em valor absoluto, o que confirma a identidade proposta.
Resposta
As duas expressões são iguais, ou seja: