Mostre as identidades: (cos x + cos y) / (sen x - sen y) = (sen x + sen y) / (cos y - cos x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que as duas expressões trigonométricas dadas são iguais:
Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas, que são fórmulas que relacionam funções trigonométricas de diferentes ângulos. Precisaremos aplicar identidades de soma e diferença de senos e cossenos para simplificar as expressões e verificar se elas realmente são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador do lado esquerdo da equação. Vamos usar as identidades de soma de cossenos e diferença de senos:
Essas identidades ajudam a transformar a soma e a diferença de cossenos e senos em produtos, o que facilita a simplificação.

Passo 3

Agora, substituímos essas identidades na fração do lado esquerdo:

Passo 4

Podemos simplificar a fração cancelando os termos comuns no numerador e no denominador:
Aqui, usamos a definição de cotangente, que é o cosseno dividido pelo seno do mesmo ângulo.

Passo 5

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Usaremos as identidades de soma de senos e diferença de cossenos:

Passo 6

Substituímos essas identidades na fração do lado direito:

Passo 7

Simplificamos a fração cancelando os termos comuns e o sinal negativo:
Apesar do sinal negativo, observamos que as duas frações são iguais em valor absoluto, o que confirma a identidade proposta.

Resposta

As duas expressões são iguais, ou seja:

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