Faça restrições no domínio e/ou contradomínio das funções trigonométricas abaixo para que se tornem bijetoras. Neste caso, determine a inversa de cada função e esboce no mesmo plano coordenado o gráfico da função e da sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer restrições no domínio e/ou contradomínio da função cotangente para que ela se torne bijetora. Depois disso, precisamos encontrar a inversa dessa função e desenhar o gráfico da função original e da sua inversa no mesmo plano coordenado. A matéria envolvida aqui é Funções Trigonométricas e Funções Bijetoras. Vamos precisar entender o que é função bijetora e como encontrar a inversa de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora se ela é injetora (cada valor do domínio corresponde a um único valor no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). A função cotangente,
, não é bijetora no seu domínio completo porque ela se repete periodicamente e não é injetora.
Passo 3
Para tornar a cotangente bijetora, precisamos restringir seu domínio de forma que ela seja injetora e sobrejetora. Sabemos que a cotangente tem um período de
, então podemos restringir o domínio para um intervalo onde a função seja estritamente decrescente ou crescente sem repetições.
Passo 4
Vamos escolher o intervalo
para restringir o domínio da função cotangente. Nesse intervalo, a cotangente é estritamente decrescente e atinge todos os valores reais, garantindo que a função seja bijetora.
Passo 5
Agora que restringimos o domínio, definimos a função bijetora:
Passo 6
Para encontrar a inversa da função, vamos resolver a equação
para
. Lembrando que
, podemos usar a relação com a tangente:
Mas para expressar de forma mais comum, usamos a relação:
Como já restrigimos o domínio, a inversa existe e é dada por:
Passo 7
Finalmente, para esboçar os gráficos da função
e da sua inversa , colocamos ambos no mesmo plano coordenado. O gráfico da função cotangente no intervalo
será uma curva decrescente que passa por todos os valores reais. A inversa, que é a arccotangente, será uma curva que reflete a função original em relação à bisecção do primeiro e terceiro quadrantes.
Resposta
Restringimos o domínio da função cotangente para
tornando-a bijetora. A inversa da função é:
Os gráficos de
e são desenhados no mesmo plano coordenado, refletidos em relação à linha
.