Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (x + 2y + z, , 2x - y, , 2y - z) definida por
[v]B = 2 -1 3
Além disso, nos dão um vetor com coordenadas na base :
E queremos encontrar as coordenadas de na base , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação linear e como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para aplicar a transformação a um vetor , precisamos conhecer as coordenadas de na base usada pela transformação. Aqui, é dado, então precisamos entender como isso se relaciona com as coordenadas padrão.
Mas, como não temos informação específica sobre as bases e , vamos supor que e sejam as bases canônicas de . Assim, podemos simplificar o problema.
Passo 3
As bases canônicas de B = C = 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1 são:
v = 21 0 0 -10 1 0 +30 0 1 = 2 -1 3
Então, as coordenadas de na base canônica são as mesmas que em :
Como queremos as coordenadas de [T(v)]C = 3 5 -5 na base , que estamos supondo ser a base canônica, as coordenadas são exatamente as componentes de . Portanto: