Seja a transformação linear T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(x+2 y+z, 2 x-y, 2 y-z)
Seja v in R^3 tal que [v]B=[r2 -1 3]. Obtenha [T(v)]C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (x + 2y + z, , 2x - y, , 2y - z) definida por
[v]B = 2 -1 3
Além disso, nos dão um vetor com coordenadas na base :
E queremos encontrar as coordenadas de na base , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação linear e como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para aplicar a transformação a um vetor , precisamos conhecer as coordenadas de na base usada pela transformação. Aqui, é dado, então precisamos entender como isso se relaciona com as coordenadas padrão.
Mas, como não temos informação específica sobre as bases e , vamos supor que e sejam as bases canônicas de . Assim, podemos simplificar o problema.

Passo 3

As bases canônicas de B = C = 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1 são:
v = 21 0 0 -10 1 0 +30 0 1 = 2 -1 3
Então, as coordenadas de na base canônica são as mesmas que em :

Passo 4

Agora, aplicamos a transformação T(v) = T(2, -1, 3) = (2 + 2(-1) + 3, , 2(2) - (-1), , 2(-1) - 3) ao vetor 2 + 2(-1) + 3 = 2 - 2 + 3 = 3 :
2(2) - (-1) = 4 + 1 = 5
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira coordenada:
2(-1) - 3 = -2 -3 = -5
  1. Segunda coordenada:
T(v) = 3 5 -5
  1. Terceira coordenada:
Então,

Passo 5

Como queremos as coordenadas de [T(v)]C = 3 5 -5 na base , que estamos supondo ser a base canônica, as coordenadas são exatamente as componentes de . Portanto:

Resposta

[T(v)]C = 3 5 -5

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