Seja o subespaço vetorial S de R^2 times 2 formado por todas as matrizes diagonais, e a transformação linear T: P2(R) S cuja matriz em relação às respectivas bases canônicas B de P2(R) e C de R^2 times 2 é
A=[rrr 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 ]
Seja p in P2(R) tal que [p]B=[r1 0 -2]. Descubra [T(p)]C.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um subespaço A = 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 de matrizes [p]B = 1 0 -2 que são diagonais. A transformação linear vai de polinômios de grau até 2 ( ) para esse subespaço . A matriz que representa essa transformação nas bases canônicas é dada por:
Além disso, temos um polinômio cuja representação na base é:
Nosso objetivo é encontrar , ou seja, a representação de na base de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa matriz . Ela representa como a transformação age nos vetores da base de . Basicamente, cada coluna de mostra como uma base da entrada é transformada na saída.
Como é uma matriz , isso indica que estamos passando de um espaço de dimensão 3 (os polinômios de grau até 2) para um espaço de dimensão 2 (as matrizes diagonais ).

Passo 3

Para encontrar [T(p)]C = A cdot [p]B , usamos a relação entre a representação da transformação e o vetor de entrada. Ou seja, multiplicamos a matriz pelo vetor :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 4

Vamos multiplicar a primeira linha de 1 times 1 + 3 times 0 + (-1) times (-2) = 1 + 0 + 2 = 3 pelo vetor 2 times 1 + 0 times 0 + 5 times (-2) = 2 + 0 - 10 = -8 :
Agora, multiplicamos a segunda linha de pelo vetor :

Passo 5

Então, após a multiplicação, obtemos o vetor:
[T(p)]C = 3 -8
Esse vetor representa os coeficientes na base das matrizes diagonais.

Passo 6

Para finalizar, vamos interpretar esse resultado no contexto das matrizes. A base T(p) = 3 & 0 0 & -8 para consiste em matrizes diagonais, onde o primeiro elemento corresponde à posição e o segundo elemento à posição .
Portanto, a matriz é:

Resposta

A representação de [T(p)]C = 3 -8 na base é:

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