Faça uma translação no sistema de coordenadas
e encontre um novo sistema de coordenadas
no qual a equação da cônica fica em forma normal (isto é, envolvendo somente um termo com
ou
, é somente um termo com
ou
).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cônica no sistema de coordenadas
. Nosso objetivo é fazer uma translação desse sistema para um novo sistema de coordenadas
de modo que a equação da cônica fique em forma normal. A forma normal significa que a equação terá apenas termos com
ou
e apenas termos com
ou
, sem termos mistos como
. Para isso, vamos precisar entender como realizar uma translação no sistema de coordenadas e ajustar a equação da cônica.
Passo 2
Vamos começar com a equação geral de uma cônica no sistema original
:
Para colocar essa equação em forma normal no novo sistema
, precisamos eliminar os termos lineares (
e
) através da translação. A translação envolve deslocar a origem do sistema de coordenadas para um novo ponto
, de modo que
e
.
Passo 3
Substituindo
e
por
e
na equação original:
Expandindo os termos:
Passo 4
Agrupando os termos semelhantes:
Para que os termos lineares desapareçam na nova equação, devemos escolher
e
de forma que os coeficientes de
e
sejam zero:
Passo 5
Resolvendo as equações para
e
:
Portanto:
Esses valores de
e
determinam a translação necessária para eliminar os termos lineares.
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, substituímos de volta na equação expandida e simplificamos:
Agora, a equação está sem termos lineares, mas ainda pode ter um termo misto
. Para que a equação esteja em forma normal sem termos mistos, precisamos que
.
Passo 7
Se
, além da translação, seria necessário realizar uma rotação do sistema de coordenadas para eliminar o termo
. Porém, como a questão pede apenas a translação, assumimos que
, o que simplifica a equação para:
Assim, a equação da cônica está em forma normal no novo sistema de coordenadas
.
Resposta
A translação necessária para colocar a equação da cônica em forma normal é dada por:
Com esses valores de
e
, o novo sistema de coordenadas
apresenta a equação da cônica em forma normal.