Faça uma translação no sistema de coordenadas (x1, y1) e encontre um novo sistema de coordenadas (x2, y2) no qual a equação da cônica fica em forma normal (isto é, envolvendo somente um termo com x2 ou x2^2, é somente um termo com y2 ou y2^2 ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cônica no sistema de coordenadas . Nosso objetivo é fazer uma translação desse sistema para um novo sistema de coordenadas de modo que a equação da cônica fique em forma normal. A forma normal significa que a equação terá apenas termos com ou e apenas termos com ou , sem termos mistos como . Para isso, vamos precisar entender como realizar uma translação no sistema de coordenadas e ajustar a equação da cônica.

Passo 2

Vamos começar com a equação geral de uma cônica no sistema original Ax1^2 + Bx1y1 + Cy1^2 + Dx1 + Ey1 + F = 0 :
Para colocar essa equação em forma normal no novo sistema , precisamos eliminar os termos lineares ( e ) através da translação. A translação envolve deslocar a origem do sistema de coordenadas para um novo ponto , de modo que e .

Passo 3

Substituindo A(x2 + h)^2 + B(x2 + h)(y2 + k) + C(y2 + k)^2 + D(x2 + h) + E(y2 + k) + F = 0 e A(x2^2 + 2hx2 + h^2) + B(x2y2 + hx2 + ky2 + hk) + C(y2^2 + 2ky2 + k^2) + D x2 + Dh + E y2 + Ek + F = 0 por e na equação original:
Expandindo os termos:

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes:
Para que os termos lineares desapareçam na nova equação, devemos escolher (A)x2^2 + (B)x2y2 + (C)y2^2 + (2A h + B h + D)x2 + (B k + 2C k + E)y2 + (A h^2 + B h k + C k^2 + D h + E k + F) = 0 e 2A h + B h + D = 0 B k + 2C k + E = 0 de forma que os coeficientes de e sejam zero:

Passo 5

Resolvendo as equações para h(2A + B) = -D k(B + 2C) = -E e h = -D2A + B k = -EB + 2C :
Portanto:
Esses valores de e determinam a translação necessária para eliminar os termos lineares.

Passo 6

Com os valores de A x2^2 + B x2 y2 + C y2^2 + (A h^2 + B h k + C k^2 + D h + E k + F) = 0 e encontrados, substituímos de volta na equação expandida e simplificamos:
Agora, a equação está sem termos lineares, mas ainda pode ter um termo misto . Para que a equação esteja em forma normal sem termos mistos, precisamos que .

Passo 7

Se A x2^2 + C y2^2 + (A h^2 + C k^2 + F) = 0 , além da translação, seria necessário realizar uma rotação do sistema de coordenadas para eliminar o termo . Porém, como a questão pede apenas a translação, assumimos que , o que simplifica a equação para:
Assim, a equação da cônica está em forma normal no novo sistema de coordenadas .

Resposta

A translação necessária para colocar a equação da cônica em forma normal é dada por:
x2 = x1 - -D2A + B y2 = y1 - -EB + 2C
Com esses valores de e , o novo sistema de coordenadas apresenta a equação da cônica em forma normal.

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