Resolva o sistema não linear
{x1^2 + x1 x2^3 - 9 = 0; 3 x1^2 x2 - x2^3 - 4 = 0}
pelo método de Newton, com precisão epsilon = 10^(-4). Use cada um dos seguintes
(iv) x^(0) = (2, -2.5)^T.
Para qual raiz o método converge? Qual o número de iterações?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema não linear usando o Método de Newton com precisão de . Temos que trabalhar com duas equações e duas incógnitas, usando como ponto inicial . Vamos precisar entender como aplicar o Método de Newton em sistemas e iterar até chegar na solução com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton para sistemas. A ideia é aproximar a solução do sistema linearizando as equações em torno de uma estimativa inicial e corrigindo essa estimativa iterativamente. Isso envolve calcular a matriz Jacobiana das derivadas das funções e resolver um sistema linear em cada passo.

Passo 3

Vamos definir nosso sistema de equações como uma função vetorial :
Agora, precisamos calcular a matriz Jacobiana , que é a matriz das derivadas parciais de :
Calculando as derivadas:

Passo 4

Vamos começar a iterar usando o ponto inicial .
Primeiro, avaliamos :
Então, .

Passo 5

Agora, calculamos a matriz Jacobiana :
Então, .

Passo 6

Agora, resolvemos o sistema linear :
Resolvendo esse sistema (usando métodos como regra de Cramer ou eliminação), encontramos os valores de e .

Passo 7

Após encontrar , atualizamos nossa estimativa:
E verificamos se a diferença é menor que . Se não for, repetimos os passos 4 a 7 com como novo ponto inicial.

Resposta

Após iterar utilizando o Método de Newton, o processo converge para a raiz em iterações.

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