Resolva o sistema não linear
pelo método de Newton, com precisão
. Use cada um dos seguintes
(iv)
.
Para qual raiz o método converge? Qual o número de iterações?
(iv)
Para qual raiz o método converge? Qual o número de iterações?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema não linear usando o Método de Newton com precisão de
. Temos que trabalhar com duas equações e duas incógnitas, usando como ponto inicial
. Vamos precisar entender como aplicar o Método de Newton em sistemas e iterar até chegar na solução com a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton para sistemas. A ideia é aproximar a solução do sistema linearizando as equações em torno de uma estimativa inicial e corrigindo essa estimativa iterativamente. Isso envolve calcular a matriz Jacobiana das derivadas das funções e resolver um sistema linear em cada passo.
Passo 3
Vamos definir nosso sistema de equações como uma função vetorial
:
Agora, precisamos calcular a matriz Jacobiana
, que é a matriz das derivadas parciais de
:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos começar a iterar usando o ponto inicial
.
Primeiro, avaliamos
:
Então,
.
Passo 5
Agora, calculamos a matriz Jacobiana
:
Então,
.
Passo 6
Agora, resolvemos o sistema linear
:
Resolvendo esse sistema (usando métodos como regra de Cramer ou eliminação), encontramos os valores de
e
.
Passo 7
Após encontrar
, atualizamos nossa estimativa:
E verificamos se a diferença é menor que
. Se não for, repetimos os passos 4 a 7 com
como novo ponto inicial.
Resposta
Após iterar utilizando o Método de Newton, o processo converge para a raiz
em
iterações.