Faça três iterações
do método de Newton para encontrar uma aproximação de uma solução de cada um dos sistemas não lineares abaixo e localize graficamente as raízes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não lineares usando o Método de Newton. O objetivo aqui é encontrar uma aproximação para as soluções do sistema dado:
Vamos precisar usar derivadas parciais e entender como o Método de Newton funciona para sistemas. O ponto de partida é a aproximação inicial
.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a matriz Jacobiana do sistema. A Jacobiana é uma matriz que contém as derivadas parciais das funções em relação às variáveis. No nosso caso:
$$
J(x) =
$$
Isso vai nos ajudar a iterar e encontrar a próxima aproximação.
Passo 3
Agora, vamos começar as iterações. A fórmula do Método de Newton para sistemas é:
Onde
é o vetor das funções do sistema. Vamos calcular
e
usando o ponto inicial
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Precisamos inverter a matriz Jacobiana
. A inversa de uma matriz 2x2
é
, desde que
.
Calculando o determinante:
Logo, a inversa é:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar
:
Calculando a multiplicação:
Então,
Passo 6
Agora, repetimos o processo para encontrar
. Primeiro, calculamos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 7
Agora, vamos inverter
. Calculando o determinante:
A inversa é:
Simplificando as frações:
Passo 8
Calculamos agora
:
Calculando a multiplicação:
Simplificando:
Calculando os valores:
Então,
Passo 9
Repetimos mais uma vez para encontrar
. Calculamos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 10
Invertemos
:
Então,
Passo 11
Finalmente, calculamos
:
Multiplicando:
Então,
Resposta
Após três iterações do Método de Newton, a aproximação da solução do sistema é: