Faça três iterações (x^(0), x^(1), x^(2), x^(3)) do método de Newton para encontrar uma aproximação de uma solução de cada um dos sistemas não lineares abaixo e localize graficamente as raízes.
2 x1 x2 - 3 = 0, x1^2 - x2 - 2 = 0, x^(0) = 2,0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não lineares usando o Método de Newton. O objetivo aqui é encontrar uma aproximação para as soluções do sistema dado:
Vamos precisar usar derivadas parciais e entender como o Método de Newton funciona para sistemas. O ponto de partida é a aproximação inicial .

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a matriz Jacobiana do sistema. A Jacobiana é uma matriz que contém as derivadas parciais das funções em relação às variáveis. No nosso caso:

$$
J(x) =

$$
Isso vai nos ajudar a iterar e encontrar a próxima aproximação.

Passo 3

Agora, vamos começar as iterações. A fórmula do Método de Newton para sistemas é:
Onde é o vetor das funções do sistema. Vamos calcular e usando o ponto inicial .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Precisamos inverter a matriz Jacobiana . A inversa de uma matriz 2x2 é , desde que .
Calculando o determinante:
Logo, a inversa é:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar :
Calculando a multiplicação:
Então,

Passo 6

Agora, repetimos o processo para encontrar . Primeiro, calculamos e .
Calculando :
Calculando :

Passo 7

Agora, vamos inverter . Calculando o determinante:
A inversa é:
Simplificando as frações:

Passo 8

Calculamos agora :
Calculando a multiplicação:
Simplificando:
Calculando os valores:
Então,

Passo 9

Repetimos mais uma vez para encontrar . Calculamos e .
Calculando :
Calculando :

Passo 10

Invertemos :
Então,

Passo 11

Finalmente, calculamos :
Multiplicando:
Então,

Resposta

Após três iterações do Método de Newton, a aproximação da solução do sistema é:

Exercícios relacionados