Uma partícula de massa e carga é liberada do repouso devido a aplicação da força gravitacional e cai em queda livre por uma altura . Paralelamente, um campo elétrico constante é aplicado horizontalmente sobre a carga, deslocando-a uma distância horizontal . Mostre que:
em que é a aceleração gravitacional.

Passo 1

Vamos resolver um problema onde uma partícula de massa e carga é solta do repouso e cai em queda livre por uma altura devido à força gravitacional. Ao mesmo tempo, um campo elétrico constante é aplicado horizontalmente, causando um deslocamento horizontal na partícula. Para resolver, vamos usar os conceitos de movimento uniformemente acelerado pela gravidade e a força elétrica atuando na partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento vertical da partícula. Como ela é liberada do repouso e cai sob a influência da gravidade, podemos usar a fórmula do movimento uniformemente acelerado:
Aqui, é a altura, é a aceleração gravitacional e é o tempo de queda.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o tempo que a partícula leva para cair a altura . Resolviendo a equação para :

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o movimento horizontal causado pelo campo elétrico. A força elétrica atuando na partícula é dada por:
Essa força causa uma aceleração horizontal na partícula:

Passo 5

Com a aceleração horizontal conhecida, podemos calcular o deslocamento horizontal usando a fórmula do movimento uniformemente acelerado, já que a velocidade inicial horizontal é zero:

Passo 6

Substituindo o tempo que calculamos no Passo 3 na equação de :
Simplificando a expressão:

Resposta

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Resposta: